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葉丙成的機率驚豔：當數學遇上文學，學生考不好也會笑著離開

Name: 葉丙成的機率驚豔：當數學遇上文學，學生考不好也會笑著離開
SKU: T0600029
Price: 229 TWD
Availability: InStock

作者葉丙成,賴以威　等著

出版社究竟出版社

系列 NewBrain

出版日 2014-02-25

定價 $290

優惠價 79折　$229元

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全網任 10 件 75 折（獨家及特惠品除外）

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葉丙成教授受邀TED演講，讓學生「沉迷於學習」的課程！驚艷與笑聲不斷！

離開校園的你，最懷念的一門課是什麼？

以前曾修過一門課，教材是《新世紀福音戰士》和《攻殼機動隊》兩部動畫，不過完全不輕鬆：課堂上除了要從各種角度剖析文本、援引相關理論形成論述，還有至少一萬字的期末報告。但畢業多年後，我對那門課仍記憶猶新。

為什麼？我想那是我第一次體會到「學問是活的」，它可以和生活如此靠近；當然，也是第一次了解到「跨領域研究」的困難之處。

看到《葉丙成的機率驚豔》的初稿時，我也有類似的感覺：好活的學問！也才知道，原來這是葉丙成老師的教學創舉，他的目的，正是讓學生找回自己的學習動機，讓學生成為學習的主體，而不再只是被動接收知識。

設計題目並不是簡單的事，更何況是把題目寫成一篇故事！寫出這些文章的，還是大家印象中和文學絕緣的理工科學生！不論是取材自影視或文學作品，還是直接從生活中擷取靈感，作者們的創意簡直令人嘆為觀止。與其說在文章裡加入算式，不如說他們在熟悉相關定理後，把生活裡隨處可見的機率，以數學方式萃取出來。

「驚豔」是我們對書名的一點堅持。不管對機率是否熟悉，我們仍相信所有人都可以從中看到學習的新方向和可能性，也都會為本書感到驚豔；一如我初見它時，心裡的那份喜悅。（／林雅萩）

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內容簡介

博客來冠軍書！瞬間吸引數萬人報名！全球知名網站Coursera第一批華語課程
臺大電機系師生的「機率創意遊戲」，首度精華呈現！

Andrew Ng（《時代雜誌》百大最具影響力人物、全球最大線上教育平臺Coursera創辦人、史丹福大學副教授）、
洪萬生（前臺灣師範大學數學系教授）、單維彰（中央大學數學系教授）、鄭國威（PanSci泛科學網總編輯）　驚豔推薦

村上春樹筆下那對100% 的男女，分開後男孩再想起女孩是自己100% 伴侶的機率有多少？
如果印第安納．瓊斯走進《全面啟動》的夢境，全身而退的勝算有多少？

看Coursera人氣教授葉丙成如何引發學生最大潛能！
26篇來自臺大電機系、結合文學與數學的師生聯合創作，
讓你了解機率真的沒有想像中那麼難，而且超好玩！

這樣的老師這樣的課，不上實在太可惜！

．他是有史以來第一個在國際舞臺（Coursera）以華語對萬人講學、互動的老師。
．他是臺灣第一個設計體驗式簡報教學法，讓小學生打大學生期末簡報分數的老師。
．他是世界第一個將大規模開放式線上課程（MOOC）變成多人線上競技遊戲的老師。
．他是當代第一個推行「緣源流機率文學創作」的老師。
．對了，他……也是第一個綁馬尾見校長的臺大電機系老師……

一場線上學習新革命，看見未來教育新契機！

葉丙成，進入臺大教書五年後，即得到「教學傑出獎」，但他發現：「如果學生對這門課沒有學習動機，講得再有趣，也是對牛彈琴。」因此他思考如何把生活中遇到的問題數學化，透過數學的方式解答，並帶著學生重新定義學習，讓學生分組出題、互相測驗，以課程結合線上遊戲競賽的方式，讓學生真正沉迷在學習當中！

本書就像「紙上機率教室」，驚豔題目搶先玩！

．滿壘滿球數，外加兩人出局的情況下，投手該不該保送眼前的強打？
．當薛丁格打開下一個箱子，貓咪是死是活的機率有多少？
．各系舉辦的晚會都好精彩，該選哪一場，才不用排隊排很久？
．妙麗最後的遺言，是魔法？還是奇蹟？
．想在期末報告的夾縫中帶女朋友出去玩，最多可以去幾天？

＊同時收錄葉丙成老師「機率與統計」課程的期中、期末考題，邀您一起try try看！

作者簡介
葉丙成

號丙紳，現任臺大電機系副教授、臺大MOOC計畫執行長。自幼觀父葉勝年教授對生徒之關懷，而立後受臺大電機許博文老師「教授稱謂實不如師，多未傳道、解惑故」之啟發，輔以天生雞婆性格，漸步上熱血教師一途。
其為師也，富熱情，常難忍教學一成不變。時於臉書輔導學子求學、人生之惑，後撰文部落格以惠同惑者，傳閱者眾。庚寅年某月見某生於課堂度孤，當夜不能寐。翻滾至五更，幡然悟得「by the students, for the students, of the students」之心法。自此教學通脫不拘，大開大闔，開發各式獨特教學法。教學深具特色，多有口碑，其簡報與表達課程收徒四十，初選常達數百眾。
其教學創舉無數，備受學生喜愛，並且樂於和學生一起享受創意的樂趣。

部落格「丙紳隨筆」：pcyeh.blog.ntu.edu.tw
臉書專頁：facebook.com/prof.yeh

賴以威

數學專欄作家，師大附中，台大電機畢，現職中研院博士後研究員。認為如同語言的語感、音樂的音感，希望能透過寫作培養更多人的「數學感」。數學不枯燥，枯燥的是計算過程，數學不討厭，討厭的是考卷上的分數。信奉數學大師約翰•馮•諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。作品常見於聯合報《閱讀數學》、泛科學(Pansci)、有物報告、CAREhER等網路媒體，著有散文集《再見，爸爸》。

個人臉書：https://www.facebook.com/iweilai0924

共同創作
黃大珉、蕭樂山、陳威宇、謝瑞賢、鄭子宇、朱柏憲、陳鴻猷、柯劭珩　等人
鄭子宇部落格「定理至此證畢」：qed314159.pixnet.net/blog
朱柏憲部落格「灑墨莊」：stegben.blogspot.tw/

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得獎紀錄

★博客來自然科普類No.1

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規格

商品編號：T0600029
ISBN：9789861371832
272頁，25開，西翻，平裝

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各界推薦

〈推薦序〉　　Prof Andrew Ng（《時代雜誌》百大最具影響力人物、全球最大線上教育平臺Coursera創辦人、史丹福大學副教授）

葉丙成老師的這本書彰顯了教授數學的新方法。我認為對學生來說，這將會為他們帶來莫大的樂趣。

〈推薦序〉樂趣，加倍奉還　　鄭國威（PanSci泛科學網總編輯）

「這不太可能吧？」

「這機會很大！」

「你有多少把握？」

我們每天都面臨機率問題，但我們每天都隨隨便便地應對，畢竟人生就是一團混沌，未來總是晦澀不明。然而葉丙成教授跟每一篇妙趣橫生的文章作者，以高度鬥智又逗趣的方式，將機率融入生活、時事、歷史，讓我佩服不已。還有什麼比用自己的文采與智慧出題考倒同學更爽快的？旁觀者如我，也不禁一會兒自我代入出題者，一會兒又代入解題者的角色，雖然總是被徹底考倒，但還是覺得好滿足，因為出題者是那麼認真。

看完這本書，雖然駑鈍如我還沒辦法躍身成為機率大師，但對於生活中每天都要面對的機率判斷，思緒好像變得清晰了點。本書中的「梗」多到數不清，除了能跟上年輕人的話題，還能長知識，可說一兼二顧，收穫多多。數學還是很難，但本書會將樂趣加倍奉還！

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序

For the Student, By the Student, Of the Student!　

還記得三年前某日，我在臺大電機系必修課「機率與統計」班上跟大家說：「有一天，我們一定會出版一本書，讓這個世界看到你們超級精采的創作才華！」三年後的今天，我們終於做到了！

這一切，源自於四年前我所開始的一場教學創新實驗。

我的教學生涯始於二○○一年。那一年，我開始在密西根大學當助教教課。從二○○一到二○一○的這十年中，我一直認為，教書就是要教得清楚、教得有趣。因此，我的教學理念就是追求「Be clear, Be fun」。直到二○一○年，我僥倖得到臺大的教學傑出獎。歷年獲獎的都是臺大在教學上素負盛名的前輩們。能與這些前輩齊名，對我是很大的鼓勵！

那時開始，我似乎有了一種錯覺：就像武俠小說一樣，覺得自己的教學似乎……已臻化境？頒完獎後的隔兩天，我在教室上課。當天我依然使出渾身解數，盡可能把課上得清楚、上得有趣。可是，我不由得注意到，在後排有三四位同學，一直在度估打瞌睡。等等，不是教學已臻化境？怎麼還會有人度估？以前上課的時候，即使學生度估也不以為意，但現在看到那些度估的人，卻很像一旦不小心看到液晶螢幕的亮點，就會忍不住老是往那裡看一樣。那一天，那些上課度估的人一直進入我的眼簾。我心裡不斷在想：「怎麼會有人度估？已經教的很清楚、很有趣，怎麼還會有人度估？」

直到當天晚上入睡時，這樣的疑惑依舊占據我腦海，甚至因此輾轉難眠。苦思到半夜，才突然想到：「原來他們就是沒有學習動機啊！」對於沒有學習動機的學生而言，老師教得再清楚、再有趣，他也不會想聽。以前我以為只要教得清楚有趣，學生自然就會有動機聽課。其實不是這樣的啊！

該怎麼做，才能燃起學生的動機？該怎麼做，才能讓他的動機熱烈持續一整個學期？這些才是教學能否成功的關鍵！在那當下，我才驚覺自己在教學上的道行實在太淺。想到自己竟曾生起「已臻化境」的念頭，不禁冒了一身冷汗！感謝四年前在我課堂度估的同學們，是他們點醒了我，讓我的教學理念從此改變！從那一夜起，我在教學上開始追求「如何讓學生維持學習動機」。

究竟該怎麼做，才能引起學生的學習動機呢？這個問題一直苦惱著我。恰好在同一個時間，我也被另一個問題苦惱著：「如何解決常見的作業抄襲問題？」

根據我去臺灣各地演講訪查的結果，發現臺灣大學生的作業抄襲問題非常嚴重。學生抄作業固然不對，但也有其背後的原因。主要是大學生修習的學分太多了，一學期修二十幾個學分，八、九門課，遠比美國大學生只有四、五門課多很多。一學期修八、九門課，讓學生根本沒有時間好好思考，更別說把作業好好磨出來。如果一個題目花了兩三分鐘還做不出來，很多人就會去看習題解答。因為有那麼多科目都要顧，沒辦法單單只在某科的某題作業冒險花那麼多時間，所以學生或是抄襲直屬學長學姐過去留下來的作業答案（學生稱之為「家產」），或是抄襲班上同學的答案，或是抄襲學校旁影印店所賣的各科教科書習題解答……作業的抄襲，是臺灣非常嚴重的問題。

那麼，該如何解決呢？我想到了一石二鳥的方法！我決定把作業變成一種多人線上遊戲。每教完一個章節，我就讓學生自己設計作業題目，然後互相攻破別人的題目。攻破越多題目的人，在地圖上就越領先其他人。由於題目都是每組學生自己設計的，同學就想抄答案也沒得抄，只能被迫好好去思考如何按部就班解出別人的題目！非常感謝我的研究生姜哲雄和唐偉軒，他們以優異的程式設計能力，將這個多人線上遊戲平臺建構出來。在二○一一年下學期，我們的系統正式上線，名字就叫做「BJT-Online」！（細節詳見：pcyeh.blog.ntu.edu.tw/archives/135）

「BJT-Online」這個出題互解的線上遊戲，一方面因為有遊戲元素，使得學生非常投入，另外一方面也因為是靠學生自己出題，所以學生花了更多時間研讀課本內容，期能找出好的材料來設計好的題目。另外，我也發現，透過自己設計題目的經驗，學生們對於題目隱藏架構的洞察力和解題能力，都有顯著提升！

此外，對於數學教育，我一直有自己的堅持：「學生學會以後要會用！」我發現很多學生看到變成數學式子的問題後，都很會解題。但若是在生活或是研究中碰到實際問題，卻有很多人不會利用數學來解。為什麼呢？主要的原因在於：學生看得懂數學式子與數學語言，但日常生活所碰到的問題，卻往往是以「人」的語言來描述的。很多學生欠缺將「人的語言」轉譯成「數學語言」的能力，以至於碰到實際問題時，無法運用所學的數學知識來解決這些問題。

因此，我出的機率考試題目，每年都是很變態的（笑）、滿滿三大頁全是字的應用題，鮮少出現數學式子。學生往往戲稱寫我的題目，簡直就像是在考閱讀測驗一樣！每年考題都是以印第安納．瓊斯博士為主題，設計出揉合故事與數學的題目。我的目的就是要從中磨練學生應用數學於實際問題的能力。另外，由於題目都相當有故事性、趣味性，常常在考場中看到學生一邊解題，一邊莞爾偷笑的景象。我的理念就是「讓學生考不好也會笑！」我希望讓學生即使考不好，也還是對這門科目留下好印象。他日若因其他原因必須重拾這方面的學問時，相信這些學生也比較能再燃起對這一科的學習熱情。

由於我都是出這類型的題目，因此同學們出的作業題也有著類似的風格。這些年來，臺大電機同學們的創作能力，每每讓我驚嘆！大家設計的機率題目揉合了數學與各式各樣的故事：有以《悲慘世界》入題的，也有以葉問入題的；有以村上春樹入題的，也有拿《哈利波特》同人誌入題的。臺大電機同學們驚人的創意作品，往往讓我拍案叫絕！由於學生出題的繳交期限多是半夜三點（ㄟ……不是我變態，是配合學生們的作息啦 @@）。我常常在半夜三點窩在床上，用平板上網看學生出的題目，每次都忍俊不住，邊看邊哈哈大笑。在旁早已入眠的內人，常常被我的笑聲吵醒，實在過意不去！（老婆！真的都是我的學生害的啦！）

這種讓學生出作業的教學方法，後來收到很大的成效。學習效果較我以往的傳統式教學進步很多，學習動機也有顯著提升。自從採用這種教學方法之後，我又衍生出許多新方法：讓學生評分、讓學生設計課程、讓學生決定學習步調等。這一系列教學方法中，都有我的新教學理念貫穿其中：「for the student, by the student, of the student!」

現今很多老師的教學理念都是「for the student, by the teacher, of the student (?).」往往是老師為了學生，辛辛苦苦地把一切東西都準備得好好的，替學生設計各式各樣的教材、作業、題目。一切的工作都是老師獨力在做，但為學生做了這麼多，卻常常得不到學生的肯定與回應，學生的學習效果也不如老師預期的好。為什麼呢？

箇中原因就在於：老師剝奪了學生學習的主動權，以至於學生失去了學習樂趣，也失去了學習動機。試想：若一個人每天都被別人硬塞大魚大肉，他對於吃還會有什麼欲望嗎？我們該做的，是讓學生餓！讓學生重拾學習的主動權！只要將老師平常握在手中的教學權力（出題、評分、授課），下放一部分給學生，學生就會覺得自己對學習有更多的主導權，他們對於學習也將更有動機、更有興趣！

老師，我們不需要再把自己搞得這麼累了！辛苦半天，卻像個不被感激的老媽子一樣，何必呢？不如給一點空間，放手讓學生胡搞瞎搞一陣！

For the student, by the student, of the student!

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　葉丙成　二○一四年一月

〈作者序〉紙上的電機之夜

嚴格說起來，這篇序言是我在本書中唯一的創作。

在編寫這本書的過程中，我所做的扮演的腳色只是，從累積好幾年的作業裡，挑出適合的作品，然後和其他作者們討論，一起將題目與解答改寫成一篇篇散文，試著讓那些就算提不起勁解題目的少數（多數？)讀者，也能享受閱讀的樂趣、感受到題目的創意，還有那理當跟作業完全扯不上關係的——「趣味」。

我們活在一個自由的時代，可以自己選擇就讀哪門科系、從事哪份職業，甚至連讓誰走進總統府，看起來都是我們說了算。但事實上，絕大多數的我們依然循規蹈矩，走在別人走過的路上。這樣的道路不見得不好，假如是經過時間淬煉的路徑，也就是所謂的「傳統」，那麼跟隨優良的傳統，可以避免不必要的錯誤嘗試。

然而，有些時候因為習慣，因為「好像大家都這麼做、這麼想」，所以我們一不小心，即將一些事情或行為視為理所當然。

這本書想傳遞的就是一些「其實不一定這樣」的想法。

出題比解題學得更多

我的指導教授教導我，做研究最重要的就是不要「因為書本或論文這麼寫，所以這麼做」，幾千年前也有一位老師說過「盡信書，不如無書」。對每件事都抱持著懷疑的心態、親自嘗試，直到發現能說服自己的理由，才真正接受這件事。這是我在念研究所時，親身體驗、學到最寶貴的一課。試想：

把思考的責任交給素未謀面的人，不是一件不負責任的事嗎？

雖然沒有問過葉老師，但我想他必定也將這樣的研究精神應用在他熱愛的教育之中，仔細檢驗課堂中的每一個步驟。

「嗯，為什麼一定要由老師出題，而不讓學生彼此之間出題競爭呢？」

這個念頭彷彿一顆種子，而這本書則是種子發芽、茁壯後，開出的一朵花。

葉老師開這門機率課時，我已經畢業很多年了（面不改色摸摸魚尾紋)。

知道他用這種方式，要求學生互相出題考對方後，我想像了一下：如果是大學時代的我，恐怕也會一不小心就誤入陷阱，或是努力出題設計同學。教過人、站在學習的另一端體驗過的人都知道，從講解或出題過程中所學到的東西，絕對比解題更多。解題只要將出題者發過來的球打回去就可以，但出題卻必須了解所有知識，才知道該如何設計題目、如何發出一記難接卻有意義的球。

理工人的文字舞臺

我很享受整理這本書的過程。

書中有些文章融合了大學生活與數學機率。閱讀時，文字彷彿像夜市裡的夾娃娃機，一把伸進大腦的深處，將青春的尾巴和大學回憶，一個個鉤出來。大學晚會、圖書館念書、新生入學前總期待自己能收到學妹，新生入學後第一天，忍不住把失望的怒氣發洩在學弟身上。這些事情我都做過（對不起，學弟）。

除此之外，還有許多文章的靈感源自於文學名著、電玩遊戲、熱門電影。這是一份集體創作，除了葉老師，還有一起合作的八位學弟：黃大珉、蕭樂山、陳威宇、謝瑞賢、鄭子宇、朱柏憲、陳鴻猷、柯劭珩，以及許多未曾謀面、修了這門機率課程的學弟妹們。在合作過程中，除了看見他們如何充滿創意地將生活中的數學元素萃取出來，剛滿二十歲的他們，對文字的掌握度與表達能力，更令我驚豔。

這讓我想起大學時，每系都有自己的晚會，系上同學能在晚會中盡情展現學業以外的才藝。以前我很喜歡去這種晚會（內文恰恰有一篇計算晚會排隊方式與入場機率的文章)，除了能趁機對暗戀的學伴獻殷勤，也能看見朋友深藏不露的一面，那種感受總是很驚奇、很有趣。這本書的每一頁就是一片舞臺，讓出題的學弟妹們有機會在各位面前舞文弄墨。希望各位讀著讀著，會像參加大學系上晚會一樣感到驚喜，心中浮起「原來理工人也有這麼好的文筆」的感受。

左腦跟右腦，本來就是合作無間的，不是嗎？

無趣的不是數學，而是基本動作

此外，我私心把序言當作許願池，希望這本書能改變大家對數學的誤會──誤會數學總是無趣。

或許，這稱不上誤解，畢竟要是在街上隨機抽樣，十位路人中，大概有九位不僅會認為數學很無聊，還能說出許多充分理由，因為從七歲到十八歲，甚至到二十二歲大學畢業，再可憐一點的到二十四歲研究所畢業，我們多少都曾經遭受過數學的荼毒。

然而我認為，大多時候我們感受到的「無聊」並非數學本身，是關於數學的「基本動作」。

數學是一門累積了幾千年的學問，不像語言偶爾有例外──偶爾有不規則動詞、偶爾這樣用或那樣用都差不多。數學講究高度的精確與量化。學校義務教育的課程中，大部分練習的都只是數學的基本動作，就像打籃球要練習運球、上籃；念英文時要背單字和動詞時態；打桌球時要對牆打、揮空拍，這些也是籃球或英文或桌球的一部分，但跟我們想像中那種在球場奔馳、背著背包在國外自助旅行與外國人對話的感覺又不太一樣。

不論哪一門知識或技藝，基本動作練習都相當無聊。

不然《灌籃高手》裡的櫻木花道，就不會在前幾集裡整天抱怨自己只能在場邊彎腰運球。

為了熟練，我們必須硬生生地將數學與生活切割開來。翻開課本，只看見冷冰冰、宛如死去的數學基本動作。真正的數學隱藏在生活之中，隱藏在帳單、科技產業、電玩遊戲，還有各種更難以想像的地方。這本書或許有些地方太過浮誇、有些地方不切實際，又有些地方純屬搏君一笑。可是，我希望透過它，讓大家感受到數學的溫度，並且重新思考：

數學其實沒有這麼討厭、這麼惱人。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　賴以威　二○一四年一月

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投手的兩難
難度：★
解題提示：機率乘法原理與加法原理。
原作者：黃胤勛、吳京達、王唯軒

「現在兩好三壞滿球數，滿壘，還在場上投球的達比修彎下腰，專注看著捕手的指示⋯⋯」

現場的加油聲聽在達比修耳裡，已經一片模糊。極度的疲憊讓他的血液變得混濁，視線也開始失焦。跟球場上的紅土相較之下，他所在的投手丘，早被汗水浸溼成更深的咖啡色。

「世界大賽第七戰，關鍵的第九局，1比0的僵局在這局是否能有所突破？達比修從投手丘上退開，似乎要調整節奏⋯⋯」

達比修仰望天空，深深吸了口氣。前八局投完，也僅僅被敲出兩支零星安打，沒想到這局一開始居然連續保送三名打者。

「體力真的已經到極限了啊。」達比修喃喃自語著。

他讓自己集中精神，按著捕手的絕妙配球，接連三振兩位打者。壓力仍在，但總算減輕了一些。達比修看著沸騰的觀眾席⋯⋯不，壓力根本就沒有減輕啊！

走上打擊區的正是大衛．佛里斯（David Freese），今天那兩支安打都是他敲的！

達比修的球投得保守了些，不知不覺到了滿球數。

再投了幾顆界外球後，雙方都意識到，接下來這球將是決定勝負的關鍵。

一個球季下來，達比修早就摸清楚捕手的配球模式。這個球季裡，他使用快速球的比例占了總投球數的三成，剩下的部分則使用滑球、卡特球、曲球，比例為5：3：2。但是面對兩好三壞（也就是現在的狀況）時，快速球、滑球、卡特球、曲球的比例將變為6：2：1：1。若是投出快速球，則達比修的各種球速（時速九十四、九十五、九十六、九十七英里）出現的機率相同。

「該不該保送佛里斯呢？」

達比修心裡浮現這個疑問。他的捕手是標準的英雄主義者，在這種關鍵時刻一定會選擇正面對決，要達比修把球送進好球帶。但是萬一被打出安打，至少會丟兩分，比賽也就此結束，而達比修就只能站在球場正中央，讓全世界目睹他的失敗。如果投出壞球保送佛里斯，雖然會被搶回一分，但他有把握解決下一棒，進入延長賽、保留勝算。在日本的嚴格訓練，讓他對完投十二局相當有自信。達比修並不介意別人說他不敢正面迎戰，只要是為了最後的勝利，什麼都可以忍耐。

該不該違背捕手的意志，保送佛里斯算了呢？

達比修喊了暫停，緩緩步下投手丘。這時，他注意到休息區給捕手的暗號：「歷年來，佛里斯在滿壘的狀況下，面對投手投出快速球、滑球、卡特球、曲球的打擊率，分別為三成五、兩成五、兩成八、兩成五。他的打擊率雖然不錯，但是他卻有一個小罩門：不擅長打超過時速九十六英里的快速球。面對這麼快的快速球，他的打擊率會驟降至一成五。」

一串數字就像一把鑰匙，打開達比修內心深處那一段連他自己都快忘記的回憶：三年前，在東京巨蛋的洗手間裡，他遇到一位來自臺灣的大學教授，那位教授留著一頭長髮，講了一堆他聽不懂的數學式，最後還留下一句話：

「有一天你會用到的。」

說完，那位教授竟騎著滑板車揚長而去。

「想不到竟然用在這種時候，那個人叫葉⋯⋯他到底是教授還是預言家？」達比修心中嘀咕了幾句，很快回想起葉教授曾告訴他，該如何根據球種以及給定球種的條件打擊率，來分析打者對自己的真正打擊率。

大衛．佛里斯的打擊率分析　　給定球種的條件打擊率　　球種出現機率　　條件打擊率×球種出現機率

快速球（時速96英里以上）　　　　　15% 　　 30% 4.5%

快速球（時速96英里以下）　　　　　35% 　　 30% 10.5%

滑球　　　　　　 25% 　　 20% 5%

卡特球　　　　　 28% 　　 10% 2.8%

曲球　　　　　　 25% 　　 10% 2.5%

全部加總 25.3%

「只有25%左右！」達比修心裡一陣驚呼，他下了決心：「有機會！」

那瞬間，達比修的目光轉為前所未有的犀利。他決定相信捕手，遵照捕手的配球。已經到達極限的身體彷彿再度燃燒了起來。世界大賽總冠軍賽第九局，兩人出局，滿壘、滿球數，捕手比出暗號，達比修點點頭，豪邁地抬起腿，將全身的力量貫注在右手，將球投出。

熱愛冒險，才是真男人

難度：★
解題提示：解題時須小心考慮每一個環節，只要不粗心，基本上沒有問題。
原作者：王宏恩、林奕辰、馮其湧

某日，印弟安捺．瓊斯在飄著小雨的午後走進了酒吧。

「你⋯⋯是瓊斯嗎？」穿著風衣的唐姆．摳比立刻認出了瓊斯。畢竟，不管天氣如何，總是戴著牛仔帽走在大街上的人，在這世界上還真是沒幾個。

「啊⋯⋯被你發現了。」瓊斯冷冷地回應。

「你⋯⋯不撐把傘嗎？」

「⋯⋯」

「好，這不重要，我知道你一向以自己的打扮為傲。」摳比一邊說著，一邊點燃手中的菸。「最近，我的團隊研發了一款系統，能讓人在夢境中展開冒險。」

聽到「冒險」二字，瓊斯的眼睛為之一亮。

「但是這套系統目前可能還不夠完備，需要有人來測試一下，所以我想到了你。」

「喔？感覺很有趣。」瓊斯坐了下來，摳比幫他點了一杯酒。

「這套系統原本是為了讓我可以在妄想世界中為所欲⋯⋯啊，不是，是為了在夢境中進行各種平常無法進行的實驗而研發的；但是，這個系統可能會製造出不穩定的狀況。也就是說，夢境原本可能風平浪靜，不過系統萬一出現異常，夢中的世界就會變成驚濤駭浪。」

「所以，想找我來測試，好讓你們找出異常嗎？」瓊斯的嘴角微微上揚，看來興致勃勃的樣子。

「沒錯，瓊斯。」摳比抓住瓊斯的肩膀。「我們需要像你這樣子的冒險家，幫忙測試這個系統。它不會傷害真正的肉體，所以根本不需要擔心，只是⋯⋯」

「只是，萬一發生什麼意外，我將永遠迷失在夢境之中。」瓊斯用高傲的目光看著摳比，摳比忍不住有些閃躲。

「是的，但我們保證⋯⋯」

「你們能保證，這場冒險會比遊戲還刺激嗎？」瓊斯打斷摳比的話。

「你⋯⋯這是什麼意思？」

「聽你這麼說，感覺好像還挺有趣的。」瓊斯的眼神變得銳利。「但是我知道你的系統一定無法符合我對『刺激』的要求。」

「不，瓊斯，這真的非常的危⋯⋯」

「打個賭吧。」不等摳比說完，瓊斯從口袋中拿出一枚硬幣，一面是天使圖案，另一面則是死神。「如果我沒辦法在五小時內（不含五小時）打破夢境，就付你五萬美元，當做你們團隊的研發基金。」

瓊斯將硬幣翻到死神那一面。「不過如果相反的話，我就⋯⋯」

摳比突然拿出疑似電擊棒的物品。「難度調到最高，夢境模式開啟！」他很快說完，直接往瓊斯頭上打去，讓瓊斯陷入沉睡。

※

「唉喲⋯⋯這是哪裡？」瓊斯虛弱地醒來，發現自己在一個白色房間裡。

「瓊斯，既然你願意提供五萬美元獎金，我們當然沒有不收下的理由。」摳比突然現身。

「你好歹也溫柔一點⋯⋯」瓊斯摸摸額頭，剛剛挨打的地方還有點痛。

「不廢話了，我來介紹一下我們的最強關卡。」摳比輕輕揮了揮手，出現幾張投影在空中的圖片。「進入夢境後，分成A、B、C三個關卡，闖關順序由抽籤決定，而且每個組合（A → B → C、A → C → B、B → A → C⋯⋯）抽出的機率相等。」

按摳比所說，每個關卡的大致情況是這樣的：

關卡A：躲子彈遊戲。即使你身手再好，通過的機率也只有20%，一旦被擊中，就必須花一個半小時來療傷。

關卡B：跨過裝滿神秘藥水的池塘。擅長使用鞭繩的瓊斯可以輕易抓住池塘上方的藤蔓盪過去，通過的機率是三分之二。池塘裡裝滿會讓人感到異常疲倦的藥水，如果掉進去，需要半小時才有辦法游出來。

關卡C：潛入金字塔找出法老王的秘寶。給個提示，寶藏在金字塔另一側，就算速度再快，也至少需要整整三小時才有可能找到寶藏。此外，金字塔中還有一個陷阱──會有大量蛇群竄出（瓊斯非常怕蛇）。瓊斯必須先花一小時探索金字塔，才會經過陷阱，觸發陷阱的機率是三分之二。一旦觸發，瓊斯就會因為過度恐懼而暈倒，直接進入下一層夢境；如果成功避開陷阱，就可以繼續探索金字塔。等到成功通過後，再進入下一關。

下一層夢境裡也有三個關卡，同樣以抽籤決定闖關順序，且每個組合抽出的機率相等。這些關卡是：

關卡D：評斷身為一名探險者的直覺。闖關者必須從七個寶箱中挑選一個，選好之後，其他寶箱就會消失，而每個箱子被挑中的機率都一樣。其中有四個寶箱裡關著猛獸，一旦打開，就要展開一場激烈的廝殺，而且必須花兩個小時對付牠們。剩下的三個箱子裡裝著提神飲料⋯⋯雖然喝了也不會有任何幫助。

關卡E：這是個連摳比也不一定能順利通過的難關。進入關卡後，會看到許多美女，千方百計想要挑逗闖關者。剛剛摳比敲暈瓊斯後，對他的腦袋進行了檢測，發現瓊斯能以理智戰勝，並逃出這個關卡的機會只有一半。如果欲望戰勝了理智，依瓊斯的能力⋯⋯嗯，至少會在裡面花費兩小時。

關卡F：在這個關卡中，闖關者必須以華麗的手法拋出頭上的牛仔帽，並且套中豎著的竹竿竿頂。如果沒有套中或不夠華麗的話，就算失敗，而且失敗的機率高達75%。一旦失敗，為了讓闖關者好好檢討自己的人生是否夠帥氣，必須停止行動半個小時。順利通過D、E、F 三道關卡後，闖關者就可以直接脫離兩層夢境，結束這趟冒險。

聽完摳比的說明，瓊斯不屑地冷哼一聲：「解釋這麼久。除了關卡E之外，其他的根本都是小事一樁。」

「喔，我知道你已經經歷過許多冒險，不過這次跟以前可不一樣。」摳比微笑回應。

「除了療傷、漫遊或受到驚嚇等有明確的回復時間外，其他關卡一定可以像流星一樣瞬間通過。」瓊斯用大拇指指著自己，展現絕對的自信。

「不過，事實上⋯⋯」雖然嘴上逞強，但瓊斯還是有一點緊張；再說，五萬美元對於瓊斯而言，可不是一筆小數目。「雖然我習慣槍林彈雨的生活，關卡A大概沒什麼問題，但是剩下的關卡⋯⋯」

瓊斯想知道在關卡A順利通過的條件下，自己順利過關的機率有多少。「成功通過關卡A的情況是條件，通過關卡A之後贏得賭注，則是所求的條件機率。看起來有點麻煩啊⋯⋯」他喃喃自語。

關卡A有哪些通過方式呢？但是關卡C很特別，如果先遇到關卡C，瓊斯又不小心昏倒，掉到下一層夢境，就沒有機會用帥氣的姿勢躲子彈了。

這個地方應該分成兩種情形討論：

P(通過A)＝P(A先於C，且A通過)＋P(C先於A，且C與A皆通過)

=3/6×1/5＋3/6×1/3×1/5＝2/15

就算關卡A通過了，要贏也沒有那麼容易，因為有五小時的時限。可能發生的狀況有以下幾種：

第一，如果先遇到關卡C，則勢必要通過關卡C，才能通過關卡A。此時關卡B無論有沒有通過，破關時間都在五小時內，可以不必理會。

第二，如果先遇到關卡A，過關後才遇到關卡C，情況就比較複雜。如果關卡A跟C都通過，那麼一定可以順利離開夢境。

還有一種情況，就是在關卡C走一小時後啟動了陷阱，而且關卡D和E全都沒通過，各花了兩小時。這樣所花費的時間一定超過五小時，五萬美元就不保了，所以關卡D或E至少要過一關才行。

最後的關卡F如果輸掉的話，只會用掉半小時；如果關卡B同樣輸了，也只花半小時，所以關卡B和F如果都輸了，花費總時數也只有四個小時，五萬美元還是可以安心放在口袋！也就是說，只要可以通過關卡D或E任何一關，就可以不用管關卡B和F了！

P(通過A，且在五小時內過關)=

P(C先於A，且C和A皆通過)+P(A先於C，且A和C皆通過)

+P(A先於C，A通過但C未過，且D、E至少過一關)

＝3/6×1/3×1/5＋3/6×1/5×1/3＋3/6×1/5×2/3×(1─4/7×1/2)

＝(21＋21＋30)/630＝72/630＝4/35

所以，將通過關卡A，而且最後還能獲勝的機率，除以關卡A獲勝的機率，也就是瓊斯帥氣躲過子彈後獲勝的機率：

(4/35)/(4/30)＝6/7

這樣看起來，瓊斯贏的機率還挺高的，應該不用掏出五萬美元了。

「好，摳比，我要開始進入關卡挑戰了。」瓊斯壓了壓帽子，蓄勢待發。

「瓊斯，我先謝過你的五萬美元了。畢竟，你可沒說不能讓你挑戰最高難度呢！」摳比陰險的表情裡埋藏著勝利的宣告。

「你未免太低估我了。我贏的機率很高，一定可以通過這些關卡。」瓊斯走到入口前，背對著摳比。「如果我順利通過關卡的話，」瓊斯說著，一腳踏進入口。「關卡E的美女⋯⋯就全部給我吧！」

「哼，如果你辦得到的話，我沒問題。」摳比爽快地答應，但瓊斯沒有回應。

在另一隻腳踏進去前，瓊斯拿出剛剛那枚硬幣拋到空中後，便走了進去。

硬幣轉呀轉，掉到摳比手上。他俐落接起，看了看上面的圖案。

象徵勝利女神的天使，正用燦爛的微笑看著他。

（本題取材自《印第安納．瓊斯》《全面啟動》）

BJ4 online
難度：★★★
解題提示：解題者必須了解均勻分布的意義、期望值的觀念，並且能接受並運用數學上的對稱性。若能了解捲積以及隨機變數相加的概念，將可從不同角度了解題目（不過並非必要）。
原作者：謝瑞賢、吳冠融、黃大珉

某個悠閒的午後，阿賢打開網路射擊遊戲「BJ4 Online」想好好放鬆一下。

才登入遊戲，就發現官方送了一筆虛擬金幣，於是，他想用這筆錢來強化自己的軍備。研究遊戲網站中所有關於裝備的評價文章之後，發現有一把名為「貝里尼M1」的霰彈槍。

以半自動霰彈槍來說相當輕便，連射性能也算相當出眾。槍身較短，便於攜帶，因此許多軍隊都採用這款槍枝。然而，雖然可以在近距離內發揮強大威力，但隨著距離拉遠，威力會迅速減弱，這是它的缺點。

阿賢看過說明文字後，覺得自己應該很適合這把槍，於是開啟練習模式準備試用。

試用後他發現，這把霰彈槍的殺傷力確實會隨距離減弱，當槍口距離敵人d時，子彈殺傷力會於40–d至50–d區間內呈均勻分布。

「那就來玩玩看吧！」

阿賢買下這把槍，進入實戰，他輕巧地穿梭著，很快便發現了目標。此時他距目標35/3單位，不過對方並沒有發現他。在這種狀況下，阿賢準確地朝對手連開三槍。

在遊戲中中，當玩家受到的傷害值到達一百單位，生命值便會歸零。

「會死嗎？會死嗎？」

剛考完機率期末考，阿賢大腦裡那些靠熬夜記下來的機率計算迴路還沒消失，他下意識開始進行高速計算，光靠這三槍就能解決對方的機率是多少。

「每次手槍所造成的傷害可視為獨立事件，總傷害分布應由各次傷害的機率密度函數進行三次旋積。單次傷害呈均勻分布，兩個均勻分布的機率密度函數旋積後，呈三角形分布，再旋積一次後，得到的機率密度函數則呈拋物線形，再將『總傷害大於一百』區域內的機率積分，即可得出答案……嗯，等等。」

不只要解出答案，還要用優雅的解法，才算真正懂機率。阿賢重新思考了一下，發現問題沒這麼複雜。

把數字代進去的話，在距離35/3處所造成的傷害，在85/3至115/3間呈均勻分布。但是仔細一想，會發現其對稱於單次傷害的期望值是100/3。換句話說，對於任意的x，單次造成的傷害是100/3＋x和 100/3–x的機率是相等的。而阿賢所做的，是把這個過程重複三次；就像把均衡的骰子丟個幾次取點數和，結果仍然是均衡的，即便是考慮三次射擊造成的傷害，依舊沒有任何因素使得期望值以上和以下的機率不同；因此，由於機率分布對稱於100，自然有一半的機率可以使傷害能超過一百，換言之，殺傷率為50%。

若由旋積的角度來看這個問題，將均勻分布的機率密度函數進行旋積後，得到的機率密度函數依然有對稱性，將三個均勻分布的機率密度函數旋積後，便對稱於三倍的原期望值，也就是一百。

連紙筆都不用，就可以輕鬆地算出結果。阿賢對還沒公佈的期末考結果感到安心。

「不過，老實說，誰管他概率是多少。」阿賢聳聳肩，又補上好幾槍，沒有任何妥協，愉快地送對手上路。

這就是人蔘……不，是人生。

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