葉丙成的機率驚豔：當數學遇上文學，學生考不好也會笑著離開

投手的兩難
難度：★
解題提示：機率乘法原理與加法原理。
原作者：黃胤勛、吳京達、王唯軒

「現在兩好三壞滿球數，滿壘，還在場上投球的達比修彎下腰，專注看著捕手的指示⋯⋯」

現場的加油聲聽在達比修耳裡，已經一片模糊。極度的疲憊讓他的血液變得混濁，視線也開始失焦。跟球場上的紅土相較之下，他所在的投手丘，早被汗水浸溼成更深的咖啡色。

「世界大賽第七戰，關鍵的第九局，1比0的僵局在這局是否能有所突破？達比修從投手丘上退開，似乎要調整節奏⋯⋯」

達比修仰望天空，深深吸了口氣。前八局投完，也僅僅被敲出兩支零星安打，沒想到這局一開始居然連續保送三名打者。

「體力真的已經到極限了啊。」達比修喃喃自語著。

他讓自己集中精神，按著捕手的絕妙配球，接連三振兩位打者。壓力仍在，但總算減輕了一些。達比修看著沸騰的觀眾席⋯⋯不，壓力根本就沒有減輕啊！

走上打擊區的正是大衛．佛里斯（David Freese），今天那兩支安打都是他敲的！

達比修的球投得保守了些，不知不覺到了滿球數。

再投了幾顆界外球後，雙方都意識到，接下來這球將是決定勝負的關鍵。

一個球季下來，達比修早就摸清楚捕手的配球模式。這個球季裡，他使用快速球的比例占了總投球數的三成，剩下的部分則使用滑球、卡特球、曲球，比例為5：3：2。但是面對兩好三壞（也就是現在的狀況）時，快速球、滑球、卡特球、曲球的比例將變為6：2：1：1。若是投出快速球，則達比修的各種球速（時速九十四、九十五、九十六、九十七英里）出現的機率相同。

「該不該保送佛里斯呢？」

達比修心裡浮現這個疑問。他的捕手是標準的英雄主義者，在這種關鍵時刻一定會選擇正面對決，要達比修把球送進好球帶。但是萬一被打出安打，至少會丟兩分，比賽也就此結束，而達比修就只能站在球場正中央，讓全世界目睹他的失敗。如果投出壞球保送佛里斯，雖然會被搶回一分，但他有把握解決下一棒，進入延長賽、保留勝算。在日本的嚴格訓練，讓他對完投十二局相當有自信。達比修並不介意別人說他不敢正面迎戰，只要是為了最後的勝利，什麼都可以忍耐。

該不該違背捕手的意志，保送佛里斯算了呢？

達比修喊了暫停，緩緩步下投手丘。這時，他注意到休息區給捕手的暗號：「歷年來，佛里斯在滿壘的狀況下，面對投手投出快速球、滑球、卡特球、曲球的打擊率，分別為三成五、兩成五、兩成八、兩成五。他的打擊率雖然不錯，但是他卻有一個小罩門：不擅長打超過時速九十六英里的快速球。面對這麼快的快速球，他的打擊率會驟降至一成五。」

一串數字就像一把鑰匙，打開達比修內心深處那一段連他自己都快忘記的回憶：三年前，在東京巨蛋的洗手間裡，他遇到一位來自臺灣的大學教授，那位教授留著一頭長髮，講了一堆他聽不懂的數學式，最後還留下一句話：

「有一天你會用到的。」

說完，那位教授竟騎著滑板車揚長而去。

「想不到竟然用在這種時候，那個人叫葉⋯⋯他到底是教授還是預言家？」達比修心中嘀咕了幾句，很快回想起葉教授曾告訴他，該如何根據球種以及給定球種的條件打擊率，來分析打者對自己的真正打擊率。

大衛．佛里斯的打擊率分析　　給定球種的條件打擊率　　球種出現機率　　條件打擊率×球種出現機率

快速球（時速96英里以上）　　　　　15%      　　           30%                  4.5%

快速球（時速96英里以下）　　　　　35%         　　        30%                  10.5%

滑球                       　　　　　　     25%           　　      20%                  5%

卡特球　　　　　                            28%             　　    10%                  2.8%

曲球                  　　　　　　          25%              　　   10%                  2.5%

全部加總                                                                     25.3%

「只有25%左右！」達比修心裡一陣驚呼，他下了決心：「有機會！」

那瞬間，達比修的目光轉為前所未有的犀利。他決定相信捕手，遵照捕手的配球。已經到達極限的身體彷彿再度燃燒了起來。世界大賽總冠軍賽第九局，兩人出局，滿壘、滿球數，捕手比出暗號，達比修點點頭，豪邁地抬起腿，將全身的力量貫注在右手，將球投出。

熱愛冒險，才是真男人

難度：★
解題提示：解題時須小心考慮每一個環節，只要不粗心，基本上沒有問題。
原作者：王宏恩、林奕辰、馮其湧

某日，印弟安捺．瓊斯在飄著小雨的午後走進了酒吧。

「你⋯⋯是瓊斯嗎？」穿著風衣的唐姆．摳比立刻認出了瓊斯。畢竟，不管天氣如何，總是戴著牛仔帽走在大街上的人，在這世界上還真是沒幾個。

「啊⋯⋯被你發現了。」瓊斯冷冷地回應。

「你⋯⋯不撐把傘嗎？」

「⋯⋯」

「好，這不重要，我知道你一向以自己的打扮為傲。」摳比一邊說著，一邊點燃手中的菸。「最近，我的團隊研發了一款系統，能讓人在夢境中展開冒險。」

聽到「冒險」二字，瓊斯的眼睛為之一亮。

「但是這套系統目前可能還不夠完備，需要有人來測試一下，所以我想到了你。」

「喔？感覺很有趣。」瓊斯坐了下來，摳比幫他點了一杯酒。

「這套系統原本是為了讓我可以在妄想世界中為所欲⋯⋯啊，不是，是為了在夢境中進行各種平常無法進行的實驗而研發的；但是，這個系統可能會製造出不穩定的狀況。也就是說，夢境原本可能風平浪靜，不過系統萬一出現異常，夢中的世界就會變成驚濤駭浪。」

「所以，想找我來測試，好讓你們找出異常嗎？」瓊斯的嘴角微微上揚，看來興致勃勃的樣子。

「沒錯，瓊斯。」摳比抓住瓊斯的肩膀。「我們需要像你這樣子的冒險家，幫忙測試這個系統。它不會傷害真正的肉體，所以根本不需要擔心，只是⋯⋯」

「只是，萬一發生什麼意外，我將永遠迷失在夢境之中。」瓊斯用高傲的目光看著摳比，摳比忍不住有些閃躲。

「是的，但我們保證⋯⋯」

「你們能保證，這場冒險會比遊戲還刺激嗎？」瓊斯打斷摳比的話。

「你⋯⋯這是什麼意思？」

「聽你這麼說，感覺好像還挺有趣的。」瓊斯的眼神變得銳利。「但是我知道你的系統一定無法符合我對『刺激』的要求。」

「不，瓊斯，這真的非常的危⋯⋯」

「打個賭吧。」不等摳比說完，瓊斯從口袋中拿出一枚硬幣，一面是天使圖案，另一面則是死神。「如果我沒辦法在五小時內（不含五小時）打破夢境，就付你五萬美元，當做你們團隊的研發基金。 」

瓊斯將硬幣翻到死神那一面。「不過如果相反的話，我就⋯⋯」

摳比突然拿出疑似電擊棒的物品。「難度調到最高，夢境模式開啟！」他很快說完，直接往瓊斯頭上打去，讓瓊斯陷入沉睡。

※

「唉喲⋯⋯這是哪裡？」瓊斯虛弱地醒來，發現自己在一個白色房間裡。

「瓊斯，既然你願意提供五萬美元獎金，我們當然沒有不收下的理由。」摳比突然現身。

「你好歹也溫柔一點⋯⋯」瓊斯摸摸額頭，剛剛挨打的地方還有點痛。

「不廢話了，我來介紹一下我們的最強關卡。」摳比輕輕揮了揮手，出現幾張投影在空中的圖片。「進入夢境後，分成A、B、C三個關卡，闖關順序由抽籤決定，而且每個組合（A → B → C、A → C → B、B → A → C⋯⋯）抽出的機率相等。」

按摳比所說，每個關卡的大致情況是這樣的：

關卡A：躲子彈遊戲。即使你身手再好，通過的機率也只有20%，一旦被擊中，就必須花一個半小時來療傷。

關卡B：跨過裝滿神秘藥水的池塘。擅長使用鞭繩的瓊斯可以輕易抓住池塘上方的藤蔓盪過去，通過的機率是三分之二。池塘裡裝滿會讓人感到異常疲倦的藥水，如果掉進去，需要半小時才有辦法游出來。

關卡C：潛入金字塔找出法老王的秘寶。給個提示，寶藏在金字塔另一側，就算速度再快，也至少需要整整三小時才有可能找到寶藏。此外，金字塔中還有一個陷阱──會有大量蛇群竄出（瓊斯非常怕蛇）。瓊斯必須先花一小時探索金字塔，才會經過陷阱，觸發陷阱的機率是三分之二。一旦觸發，瓊斯就會因為過度恐懼而暈倒，直接進入下一層夢境；如果成功避開陷阱，就可以繼續探索金字塔。等到成功通過後，再進入下一關。

下一層夢境裡也有三個關卡，同樣以抽籤決定闖關順序，且每個組合抽出的機率相等。這些關卡是：

關卡D：評斷身為一名探險者的直覺。闖關者必須從七個寶箱中挑選一個，選好之後，其他寶箱就會消失，而每個箱子被挑中的機率都一樣。其中有四個寶箱裡關著猛獸，一旦打開，就要展開一場激烈的廝殺，而且必須花兩個小時對付牠們。剩下的三個箱子裡裝著提神飲料⋯⋯雖然喝了也不會有任何幫助。

關卡E：這是個連摳比也不一定能順利通過的難關。進入關卡後，會看到許多美女，千方百計想要挑逗闖關者。剛剛摳比敲暈瓊斯後，對他的腦袋進行了檢測，發現瓊斯能以理智戰勝，並逃出這個關卡的機會只有一半。如果欲望戰勝了理智，依瓊斯的能力⋯⋯嗯，至少會在裡面花費兩小時。

關卡F：在這個關卡中，闖關者必須以華麗的手法拋出頭上的牛仔帽，並且套中豎著的竹竿竿頂。如果沒有套中或不夠華麗的話，就算失敗，而且失敗的機率高達75%。一旦失敗，為了讓闖關者好好檢討自己的人生是否夠帥氣，必須停止行動半個小時。順利通過D、E、F 三道關卡後，闖關者就可以直接脫離兩層夢境，結束這趟冒險。

聽完摳比的說明，瓊斯不屑地冷哼一聲：「解釋這麼久。除了關卡E之外，其他的根本都是小事一樁。」

「喔，我知道你已經經歷過許多冒險，不過這次跟以前可不一樣。」摳比微笑回應。

「除了療傷、漫遊或受到驚嚇等有明確的回復時間外，其他關卡一定可以像流星一樣瞬間通過。」瓊斯用大拇指指著自己，展現絕對的自信。

「不過，事實上⋯⋯」雖然嘴上逞強，但瓊斯還是有一點緊張；再說，五萬美元對於瓊斯而言，可不是一筆小數目。「雖然我習慣槍林彈雨的生活，關卡A大概沒什麼問題，但是剩下的關卡⋯⋯」

瓊斯想知道在關卡A順利通過的條件下，自己順利過關的機率有多少。「成功通過關卡A的情況是條件，通過關卡A之後贏得賭注，則是所求的條件機率。看起來有點麻煩啊⋯⋯」他喃喃自語。

關卡A有哪些通過方式呢？但是關卡C很特別，如果先遇到關卡C，瓊斯又不小心昏倒，掉到下一層夢境，就沒有機會用帥氣的姿勢躲子彈了。

這個地方應該分成兩種情形討論：

P(通過A)＝P(A先於C，且A通過)＋P(C先於A，且C與A皆通過)

=3/6×1/5＋3/6×1/3×1/5＝2/15

就算關卡A通過了，要贏也沒有那麼容易，因為有五小時的時限。可能發生的狀況有以下幾種：

第一，如果先遇到關卡C，則勢必要通過關卡C，才能通過關卡A。此時關卡B無論有沒有通過，破關時間都在五小時內，可以不必理會。

第二，如果先遇到關卡A，過關後才遇到關卡C，情況就比較複雜。如果關卡A跟C都通過，那麼一定可以順利離開夢境。

還有一種情況，就是在關卡C走一小時後啟動了陷阱，而且關卡D和E全都沒通過，各花了兩小時。這樣所花費的時間一定超過五小時，五萬美元就不保了，所以關卡D或E至少要過一關才行。

最後的關卡F如果輸掉的話，只會用掉半小時；如果關卡B同樣輸了，也只花半小時，所以關卡B和F如果都輸了，花費總時數也只有四個小時，五萬美元還是可以安心放在口袋！也就是說，只要可以通過關卡D或E任何一關，就可以不用管關卡B和F了！

P(通過A，且在五小時內過關)=

P(C先於A，且C和A皆通過)+P(A先於C，且A和C皆通過)

+P(A先於C，A通過但C未過，且D、E至少過一關)

＝3/6×1/3×1/5＋3/6×1/5×1/3＋3/6×1/5×2/3×(1─4/7×1/2)

＝(21＋21＋30)/630＝72/630＝4/35

所以，將通過關卡A，而且最後還能獲勝的機率，除以關卡A獲勝的機率，也就是瓊斯帥氣躲過子彈後獲勝的機率：

(4/35)/(4/30)＝6/7

這樣看起來，瓊斯贏的機率還挺高的，應該不用掏出五萬美元了。

「好，摳比，我要開始進入關卡挑戰了。」瓊斯壓了壓帽子，蓄勢待發。

「瓊斯，我先謝過你的五萬美元了。畢竟，你可沒說不能讓你挑戰最高難度呢！」摳比陰險的表情裡埋藏著勝利的宣告。

「你未免太低估我了。我贏的機率很高，一定可以通過這些關卡。」瓊斯走到入口前，背對著摳比。「如果我順利通過關卡的話，」瓊斯說著，一腳踏進入口。「關卡E的美女⋯⋯就全部給我吧！」

「哼，如果你辦得到的話，我沒問題。」摳比爽快地答應，但瓊斯沒有回應。

在另一隻腳踏進去前，瓊斯拿出剛剛那枚硬幣拋到空中後，便走了進去。

硬幣轉呀轉，掉到摳比手上。他俐落接起，看了看上面的圖案。

象徵勝利女神的天使，正用燦爛的微笑看著他。

（本題取材自《印第安納．瓊斯》《全面啟動》）

BJ4 online
難度：★★★
解題提示：解題者必須了解均勻分布的意義、期望值的觀念，並且能接受並運用數學上的對稱性。若能了解捲積以及隨機變數相加的概念，將可從不同角度了解題目（不過並非必要）。
原作者：謝瑞賢、吳冠融、黃大珉

某個悠閒的午後，阿賢打開網路射擊遊戲「BJ4 Online」想好好放鬆一下。

才登入遊戲，就發現官方送了一筆虛擬金幣，於是，他想用這筆錢來強化自己的軍備。研究遊戲網站中所有關於裝備的評價文章之後，發現有一把名為「貝里尼M1」的霰彈槍。

以半自動霰彈槍來說相當輕便，連射性能也算相當出眾。槍身較短，便於攜帶，因此許多軍隊都採用這款槍枝。然而，雖然可以在近距離內發揮強大威力，但隨著距離拉遠，威力會迅速減弱，這是它的缺點。

阿賢看過說明文字後，覺得自己應該很適合這把槍，於是開啟練習模式準備試用。

試用後他發現，這把霰彈槍的殺傷力確實會隨距離減弱，當槍口距離敵人d時，子彈殺傷力會於40–d至50–d區間內呈均勻分布。

「那就來玩玩看吧！」

阿賢買下這把槍，進入實戰，他輕巧地穿梭著，很快便發現了目標。此時他距目標35/3單位，不過對方並沒有發現他。在這種狀況下，阿賢準確地朝對手連開三槍。

在遊戲中中，當玩家受到的傷害值到達一百單位，生命值便會歸零。

「會死嗎？會死嗎？」

剛考完機率期末考，阿賢大腦裡那些靠熬夜記下來的機率計算迴路還沒消失，他下意識開始進行高速計算，光靠這三槍就能解決對方的機率是多少。

「每次手槍所造成的傷害可視為獨立事件，總傷害分布應由各次傷害的機率密度函數進行三次旋積。單次傷害呈均勻分布，兩個均勻分布的機率密度函數旋積後，呈三角形分布，再旋積一次後，得到的機率密度函數則呈拋物線形，再將『總傷害大於一百』區域內的機率積分，即可得出答案……嗯，等等。」

不只要解出答案，還要用優雅的解法，才算真正懂機率。阿賢重新思考了一下，發現問題沒這麼複雜。

把數字代進去的話，在距離35/3處所造成的傷害，在85/3至115/3間呈均勻分布。但是仔細一想，會發現其對稱於單次傷害的期望值是100/3。換句話說，對於任意的x，單次造成的傷害是100/3＋x和 100/3–x的機率是相等的。而阿賢所做的，是把這個過程重複三次；就像把均衡的骰子丟個幾次取點數和，結果仍然是均衡的，即便是考慮三次射擊造成的傷害，依舊沒有任何因素使得期望值以上和以下的機率不同；因此，由於機率分布對稱於100，自然有一半的機率可以使傷害能超過一百，換言之，殺傷率為50%。

若由旋積的角度來看這個問題，將均勻分布的機率密度函數進行旋積後，得到的機率密度函數依然有對稱性，將三個均勻分布的機率密度函數旋積後，便對稱於三倍的原期望值，也就是一百。

連紙筆都不用，就可以輕鬆地算出結果。阿賢對還沒公佈的期末考結果感到安心。

「不過，老實說，誰管他概率是多少。」阿賢聳聳肩，又補上好幾槍，沒有任何妥協，愉快地送對手上路。

這就是人蔘……不，是人生。