聰明學統計的13又½堂課：每個數據背後都有戲，搞懂才能做出正確判斷

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前言   　  我為什麼討厭微積分，卻喜歡統計？

第1章     為什麼要學統計？

第2章     誰是史上最佳球員？—描述性統計

第3章    「他的個性還不錯」及其他非謊言但嚴重誤導的敘述—誤導式統計

第4章　   線上租片公司怎麼會知道我喜歡什麼電影？—相關性

第5章     不要為99美元的印表機加買延長保固—機率入門

第5又½章　門後會是一隻羊，還是你企盼的獎品？—蒙提霍爾問題

第6章     看看過度自信的數學怪咖如何差點摧毀全球金融系統—機率的問題

第7章    「垃圾進，垃圾出」—數據的重要性

第8章     統計學的詹姆斯大帝—中央極限定理

第9章     為什麼統計學教授懷疑我作弊？—推論

第10章    我們如何得知64％的美國人支持死刑（樣本誤差為正負3％）—民調

第11章    奇蹟仙丹—迴歸分析

第12章    強制警告標示—常見的迴歸錯誤

第13章    就讀哈佛會改變你的一生嗎？—方案評估

附錄        統計軟體

前言　我為什麼討厭微積分，卻喜歡統計？

我和數學的關係一直不好。我不喜歡數字，只因為它們是數字，沒其他原因。我對華而不實的公式沒有好感，特別討厭高中微積分，原因很簡單，沒人告訴我為什麼要學它。拋物線下面的區域是什麼？誰管它啊？

其實，我一生最棒的時刻之一是在高中最後一年上學期微積分先修課程期末時，當時我一直在準備期末考，不過得承認我並沒有很認真（幾個星期前我剛被第一志願的大學錄取，所以對這個我本來就沒有興趣的課程就更無心準備了）。當我瞪著期末考的試題時，覺得完全不認得它們，我不是不會回答問題，而是我連問題都看不懂。我也曾經沒準備就去考試，不過套句倫斯斐德（曾在美國福特總統與小布希總統任內擔任國防部長）的話，我通常知道我不知道什麼。這次的試題看起來比希臘文還希臘，我翻了一會兒試卷，然後差不多放棄了。我走到教室前面，微積分老師，姑且稱她為卡洛．史密斯吧，正在監考。「史密斯太太， 」我說：「我看不太懂題目耶。」

不用說，史密斯太太喜歡我並沒有比我喜歡她多。是的，現在我可以承認，有時我會利用當學生會會長的有限權力來安排全校集會的時間，好讓微積分課可以取消。是的，我和朋友們的確曾經安排過以「神秘仰慕者」的名義在課堂上送花，看著她手足無措，我們則坐在後面喀喀地笑。還有，是的，我被大學錄取之後，就完全不寫功課了。

所以當我考到一半就走到史密斯太太那兒，對她說我看不太懂題目時，她當然是一點也不表同情。「查爾斯， 」她表面上是對我說話，卻面對著成排的桌椅好讓大家都能聽到：「如果你確實唸了書，就看得懂題目了。」真是一針見血。

我悄悄走回座位。幾分鐘之後，一位微積分比我好很多的學生布萊恩．亞培特走到教室前面，對史密斯太太耳語了幾句，而她也以耳語回應他，然後一件真正不尋常的事情發生了。「各位同學請注意， 」她宣布：「我不小心發給你們下學期的考卷。」因為考試時間已進行了很久，整個考試必須作廢再重新安排。

我沒法充分形容我的欣慰感。我後來娶了一位很棒的女性，我們有三個健康的寶寶，我出版了好些書，去過泰姬瑪哈陵、吳哥窟等名勝，但是，我的微積分老師得到報應的那一天仍然是我生命中的五大時刻之一（後來這堂課的期末補考我差點被當，但這並沒有減損這件事所帶來的快感）。

微積分考試事件已概要說明了我與數學的關係，但還不是全貌。奇怪的是，我在高中很喜歡物理，即使物理非常依賴我所討厭的微積分。這又是為什麼呢？因為物理的目的明確。我清楚地記得，我的高中物理老師在美國職棒大聯盟總冠軍賽期間，教我們如何運用基本的加速度公式來估算一支全壘打可以打多遠。這真是酷斃了，而且同樣的公式還有許多實用的社會用途。

我上大學以後就非常喜歡機率，當然又是因為它針對有趣的生活實境可以提供深刻觀察。現在回想起來，我並不是因為數學而討厭微積分課，而是因為沒有人覺得有必要解釋上微積分課的目的。如果你不是那種單純被精確公式所吸引的人—我就絕對不是—那麼微積分就只是一堆繁瑣、機械化的公式，至少這是我的上課心得。

這就說到統計（在這本書內包含機率）了。我愛統計，統計可以用來解釋從DNA檢驗到玩樂透的愚蠢行為；可以幫助我們辨識出和癌症、心臟病等疾病有關的因素；可以幫助我們觀察到標準測驗中的作弊行為，甚至可以幫助你在遊戲節目中獲勝。我小時候有個出名的節目叫做《讓我們做個交易》（Let's Make a Deal），它有個同樣有名的主持人蒙提．霍爾。在每一天節目的結尾，優勝者會站在蒙提旁邊，面對三扇大門：一號門、二號門，以及三號門。蒙提．霍爾會解釋有一扇門的後面是眾所企盼的獎品，例如一輛新車，其他兩扇門後面則是一隻羊。玩法很直截了當：優勝者選一扇門，就會獲得門後的獎品。

因為優勝者和主持人一起面對門，他有三分之一的機會選中那扇大獎的門，不過這個節目有一點變化，這點一直都讓統計學家覺得很有趣，同時也讓其他人覺得很困惑。當優勝者選擇一扇門之後，主持人會打開剩下兩扇門中的一扇，後面永遠是一隻羊。舉例來說，假設優勝者選了一號門，蒙提會打開三號門，就會看到一隻活生生的羊站在台上。其他一號門及二號門仍然關著。如果大獎是在一號門後，優勝者就贏了；如果大獎是在二號門後，優勝者就輸了。接下來，事情變得更有趣了：蒙提會問優勝者要不要改變心意，選擇另一扇門（在這個例子是從一號門改成二號門）。要記得這兩扇門都還是關著，優勝者唯一得到的新訊息是，他沒選的兩扇門中有一扇後面是一隻羊。

他應該換嗎？

答案是應該。為什麼呢？本書的第5又½章會提到。

統計的弔詭是它們無所不在—從打擊率到總統民調都是—但是這門學問本身卻以無趣及難搞著稱。許多統計書籍與課程都充斥著數學與術語。相信我，技術細節非常重要（也很有趣），但是如果你不了解它的直覺，那統計對你來說就是希臘文了；而且如果你不相信有學習它的理由，那你連直覺也不用在乎了。本書的每一章都保證會回答我問過高中微積分老師（卻沒有得到答案）的基本問題：學這個要做什麼？

這本書講的是直覺。它只簡短提到數學、方程式，以及圖形，而且我保證在提到時一定會有明確、啟發的目的。另一方面，這本書會費盡唇舌舉例說明，好讓你相信學習統計的確事關緊要。統計真的很有趣，而且大部分的內容並不難搞。

想寫這本書的念頭產生時，距離我在史密斯太太微積分先修課的不幸經驗並沒有太久。我在研究所學的是經濟及公共政策，在課程開始前我就被（毫不意外地）指派到「數學營」，和班上一大堆同學一起準備即將上的「量子力學」課程。整整三個星期，我們全天關在一間沒有窗戶的地下室教室裡（不蓋你）學習數學。

當中有一天，我有一種非常類似生命中靈光乍現的經驗。老師試著教我們將一組無限系列的總和匯集成一個有限數目的情況。請你忍耐一分鐘，因為這個概念會變得很清楚（現在你可能會有我在那間沒有窗戶的教室裡的感覺），一組無限系列指的是一個無止境的數字模式，例如1+½＋¼＋⋯…結尾的點點點表示這個模式持續到無限。

這就是讓我們頭痛的地方。老師用一些我早已忘記的證據，試著讓我們相信，一系列無止境的數字卻可以（約略）加總成一個有限的數目。儘管有著明顯的數學證據，班上同學威爾．沃肖爾卻完全不買帳（老實說，我自己也有些懷疑），無限的東西怎麼可能加總成為有限的東西？

然後，我突然靈機一動，或者應該是如老師所說的直覺一動，轉向威爾，對他說明我剛才在腦子裡想通的觀念。

想像你站在離牆剛好二呎的地方。

現在移離牆一半的距離（一呎），因此你現在距牆一呎遠。

從一呎開始，再移向離牆一半的距離（六吋，亦即二分之一呎）；然後從六吋開始，再移一次（移三吋，亦即四分之一呎）；然後再一次（移一又二分之一吋，亦即八分之一呎）；然後再一次⋯⋯

你會逐漸緊靠近牆（如當你離牆「一○二四分之一」吋時，再移向離牆一半的距離，亦即「二○四八分之一」吋），但你永遠不會撞到牆，因為就字面來說，你每次只移動離牆一半的距離。換句話說，你會無限接近牆，但永遠不會撞到它。如果我們用呎來計算你移動的距離，這個系列就可以這樣表示：1＋½＋¼＋⋯⋯

道理就在這裡：雖然你會繼續移動前進，每一次移動都會讓你更靠近離牆一半的距離，但你移動的全部距離絕不會超過二呎，這正是你一開始離牆的距離。就數學而言，你移動的全部距離可以約略算是二呎，計算起來非常方便。數學家就會說這個無限系列（1＋½＋¼＋⋯⋯）加總起來就是二呎，這就是老師那天想要教會我們的。

重點是我說服了威爾，說服了我自己。我不記得證明一組無限系列的總和匯集成一個有限數目的數學過程，但我隨時都可以上網找得到。當我找到的時候，那個過程可能看起來很合理。從我的經驗裡，直覺會讓數學及其他技術細節更易於了解，反過來則未必如此。

這本書的目的是要讓最重要的統計觀念變得更合乎直覺，也更容易上手，不僅是為了像我這樣被迫要在沒有窗戶的教室裡學習的人，也為了對數字與數據的魔力有興趣的任何人。

現在我已經證明統計的核心工具其實可以更合乎直覺與更易上手，接著我要提出一個看似相反的觀點：統計可能會過度容易上手，因為任何人只要有一台電腦和一些數據，敲幾下鍵盤，就可以完成複雜的統計過程。問題是如果數據不正確，或是不當使用統計技巧，結論就可能嚴重誤導，甚至造成危險。想像你在網路搜尋時，跳出下列這個假設性的新聞標題：工作時短暫休息的人更容易死於癌症。根據一項針對三萬六千名（好龐大的數據！）白領階級的驚人調查，那些習慣於上班時離開辦公室去休息十分鐘的員工，在未來五年內罹患癌症的可能性，要比上班時間不離開辦公室的員工高出百分之四十一。顯然我們針對這項發現應該採取一些行動，例如發起全國性運動來阻止工作時的短暫休息。

又或許我們只需要想想許多員工在十分鐘休息時做的事情。我的專業經驗告訴我，許多上班時短休的員工都聚在建築物入口外面一起吸菸（製造出一片煙霧，讓其餘的人必須走過煙霧才能進出建築物）。我的進一步推論是，導致癌症的有可能是香菸而不是短休。這個例子是我編造出來以凸顯其荒謬，但是我向你保證，許多真實生活中的統計惡行一經解構幾乎就是這麼荒謬。

統計就像是高性能武器：正確使用就有所幫助，錯誤使用就可能造成災難。這本書不會讓你成為統計專家，但它會讓你對這個領域保有足夠的審慎及尊重，才不會在統計上犯了等同於把別人的腦袋轟掉一樣的錯誤。

這不是一本教科書，因此涵蓋的主題範圍及說明的方式比較隨意。這本書意在以最生活化的方式來介紹統計觀念。科學家如何判定致癌因素？民調如何進行（哪些地方會出錯）？誰「拿統計騙人」，他們如何做到的？你的信用卡公司如何利用你的購物內容數據，來預測你是否會錯過繳費期限（不騙你，他們真的做得到）？

如果你想要了解新聞背後的數字及欣賞數據（愈來愈）神奇的力量，這本書正符所需。最後，我希望能說服你相信瑞典數學家及作家唐克爾斯的創見：用統計說謊很容易，沒有統計要找出真相卻很困難。

但我還有更大膽的期望，我認為你說不定會喜歡上統計，它背後的想法既絕妙有趣也十分實用，關鍵就在於將重要的概念從難解的技術細節中分離，不要讓它們妨礙你，這就是《聰明學統計的13又½堂課》。