聰明學統計的13又½堂課：每個數據背後都有戲，搞懂才能做出正確判斷

第5章  不要為99美元的印表機加買延長保固 —機率入門

約瑟夫•施麗茲釀酒公司於一九八一年投入一百七十萬美元推出在當時看來極為大膽冒險的廣告活動，來宣傳它搖搖欲墜的啤酒品牌「施麗茲」。美式足球超級盃中場時，該公司在全球一億觀眾面前現場轉播品酒體驗，由施麗茲啤酒對上主要競爭對手麥格啤酒。更大膽的是，該公司並不是隨機挑選品酒者來評鑑這兩種啤酒，它挑選一百位習慣喝麥格啤酒的消費者，這就是這個活動的亮點。整個活動貫穿全國美式足球聯盟季後賽，總共有五場現場電視轉播的品酒體驗，每一場都由一百名對手品牌（百威、美樂或麥格）的顧客，在他們喜愛的啤酒跟施麗茲啤酒之間進行盲品。每一場品酒大賽都經過大力宣傳，就像同場舉行的季後賽一般（如「在美國美式足球聯賽收看施麗茲對百威季後賽現場轉播」）。

施麗茲啤酒要傳達的行銷訊息很清楚：即使是以為自己喜歡其他品牌的啤酒消費者，在盲品時也會偏愛施麗茲。在超級盃的現場，施麗茲啤酒甚至雇用一位前全國美式足球聯盟裁判來監督測試。想到在現場轉播的廣大觀眾面前進行盲品的偌大風險，我們一定會認為施麗茲的啤酒美味無敵，不是嗎？

這倒未必。施麗茲只需要有口味中等的啤酒和對統計的徹底了解，就知道這個計謀—我是不會隨便用這個詞的，即使是講到啤酒廣告—幾乎一定對它有利。與施麗茲同級的啤酒嘗起來都差不多；諷刺的是，這個廣告利用的就是這個事實，它假設街上隨便一個愛喝啤酒的人也分不出來施麗茲與百威、麥格及美樂的區別。在這種情況下，盲品其中任何兩者的結果，基本上就像擲銅板一樣，平均一半的品酒者會選擇施麗茲，一半會選擇施麗茲所「挑戰」的啤酒。單單這個事實可能不足以讓這個廣告活動特別有效（就像是在說：「你分不出來不同，那就喝施麗茲好了。」）施麗茲啤酒也絕對、肯定不會要自己的忠實顧客來做這個測試，因為約略有一半的施麗茲愛好者會選擇競爭對手。當應該對你的品牌忠心耿耿的顧客在盲品中選擇對手的產品，真是不太好看，而這正是施麗茲啤酒想要對它的競爭對手所做的事。

施麗茲啤酒做了件更聰明的事。設計這個活動的天才只讓那些承認自幾己偏好競爭對手啤酒的消費者參加測試。如果盲眼品酒體驗真的就像擲銅板一樣，那麼大約一半喝百威、美樂、麥格的人會選擇施麗茲，這讓施麗茲啤酒看起來很不賴：有一半喝百威啤酒的人比較喜歡施麗茲啤酒的味道！

選在超級盃的中場由一位穿著制服的前全國美式足球聯盟裁判來執行品酒體驗，效果更是特別好。不過，這畢竟是電視現場轉播，即使施麗茲啤酒的統計專家經過無數次的私下測試，判定典型的麥格消費者有一半機會選擇施麗茲，但是如果一百位喝麥格啤酒的人在超級盃中場品酒時都失常了？是的，盲品就像擲銅板一樣，如果大多數品酒的人湊巧都選擇麥格呢？畢竟，如果我們要這同樣的一百個人排成一行擲銅板，很有可能其中八十五或九十個人會擲出反面來。如果施麗茲在品酒體驗時運氣也這麼糟，將會是一場災難（更別提浪費了一百七十萬美元的電視轉播費）。

統計來救命啊！如果真有某個統計學超級英雄的存在（我心裡想的是「六西格瑪人」。希臘小寫字母西格瑪σ代表標準差。六西格瑪人的統計能力、智識及力量都在正常值的六個標準差以上），此時他就會俯衝入施麗茲啤酒的企業總部，揭露統計學家所謂二項式實驗（或稱柏努利試驗）的細節。柏努利試驗的重要特點是有固定數目的試驗（如一百名品酒體驗者），每次試驗都有兩種可能結果（施麗茲或麥格），每次試驗「成功」的機率都一樣（我的假設是選到任一啤酒的機率是百分之五十，我對「成功」的定義是體驗者選擇施麗茲）。我們也假設所有的「試驗」都是獨立的，意即任一名盲品體驗者的決定對任何其他體驗者都沒有影響。

僅就這些資訊，一位統計學超級英雄就能計算出一百次試驗所有不同結果，例如五十二個選施麗茲、四十八個選麥格，或是三十一個選施麗茲、六十九個選麥格。我們這些不是統計學超級英雄的人，也可以用電腦算出相同的結果。所有一百名體驗者全都選擇麥格的機率是1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376分之一。所有體驗者在中場時一起被小行星撞死的機率可能都大些。更重要的是，同樣的基本計算可以給我們一系列結果的累積機率，例如選擇施麗茲啤酒的體驗者只有四十個或四十以下的機率。這些數字可以顯著消除施麗茲啤酒行銷人員的恐懼。

讓我們假定如果一百名體驗者中至少有四十名選擇施麗茲，施麗茲啤酒就會很高興了。想想看，所有接受現場盲品體驗的人都自認是麥格的愛好者，四十名已經是很了不起的數目了，品酒體驗有這麼好的結果是高度可能的。如果品酒體驗真的像擲銅板一樣，那麼基本機率知識告訴我們，至少有四十名體驗者會選擇施麗茲的機率是百分之九十八；至少有四十五名體驗者會選擇施麗茲的機率是百分之八十六（補充說明：我是用一個方便的線上二項式實驗計算器來做這些計算，網址是http://stattrek.com/Tables/Binomial.aspx）。理論上這個計策的風險並不是很高。

後來結果怎麼樣呢？在一九八一年超級盃中場的盲品中，剛剛好有五成的麥格消費者選擇了施麗茲。

這給我們兩個重要的教訓。一是機率是一個強有力的工具，另一個是一九八○年代的許多名牌啤酒其實喝起來都差不多。本章主要是討論第一個教訓。

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我們終於可以談談你那九十九美元的印表機了！假設你剛剛在百思買或某家別的零售店買了一台嶄新的雷射印表機（補充說明：稍早我在這本書裡用了一個喝醉的員工製造有瑕疵印表機的例子，這裡你得忘掉那個例子，且假設那家公司已經解決它的品質問題）。當你結帳時，銷售助理會提供一系列延長保固期的選擇，如果再多付二十五或五十美元，印表機在未來一或兩年內故障，百思買會替你修好或換一台新的給你。基於你對機率、保險與基本經濟學的了解，應該可以立即做出下面所有推測：１百思買是一家追求利潤最大化的營利企業；２ 銷售助理急於要你購買延長保固；３ 從前面兩點我們可以推論，你為延長保固付出的費用大於百思買修理或更換印表機的預期成本，如果不是這樣，百思買不會那麼積極推銷延長保固給你；４ 如果你的九十九美元印表機壞了，你得自己掏錢修理或買台新的，可是生活並不會因此產生劇變。

一般而言，你為延長保固付出的費用會多過修理印表機的費用。從更廣的角度來看，同時也是個人財務的核心教訓是，你應該要為預防任何無法順利承擔的逆境買保險，而其他任何的保險都不應購買。

第13章  就讀哈佛會改變你的一生嗎？—方案評估

非對等控制。有時候研究一個處置作用的最佳可能選擇是建立非隨機的實驗組與控制組。我們的希望／預期是，即使環境不容許擁有隨機性這個統計的奢侈品，這兩組大體上還是類似的。好消息是有一個實驗組和一個控制組，壞消息是任何非隨機的指定至少有產生偏差的可能。參與者被指定到任一組的方式可能造成實驗組與控制組之間未觀察到的差異，因此稱作「非對等控制」。

一個不相等的控制組仍會是一個很有用的工具，讓我們思考本章標題的問題：就讀精英大學或學院對一生的發展是否有明顯的優勢？顯然世界上的哈佛、普林斯頓及達特茅斯的畢業生都混得很好，平均而言，他們比上普通學校的學生賺的錢多，生命的機會也比較廣闊。（PayScale.com網站於二○○八年做的一項調查發現，有十或二十年工作經驗的達特茅斯畢業生薪酬之中位數是十三萬四千美元，是所有大學中最高的；普林斯頓以十三萬一千美元位居第二）。我希望你到現在已經了解，這些令人印象深刻的數目絕對沒有告訴我們達特茅斯或普林斯頓教育的價值，讀達特茅斯和普林斯頓的學生在申請學校時就很有天分，這是他們被錄取的原因，不論唸哪所大學，大概一生都會混得不錯。

我們不知道的是就讀哈佛或耶魯這樣的學校的處置作用。這些精英學校的畢業生一輩子都混得不錯，是因為他們在入學時就是超級資優呢，或是這些大學及學院接受這些資優生以後，讓他們變得更有生產力，為他們加值？還是兩者皆然？

我們無法進行一個隨機實驗來回答這個問題，很少高中生願意被隨機指派到一所大學讀書，哈佛及達特茅斯也不會特別熱中於接受隨機指派來的學生。看起來似乎沒有任何機制可以檢測出處置作用的價值。這時智慧就出手相助了！經濟學家史黛西．戴爾和亞倫．克魯格利用（補充說明：研究人員喜歡用「利用」這個詞，它有一種特別的意思，好像占了與資料有關的機會的便宜，例如當研究人員發現一項具備實驗組與控制組的自然實驗，他們會描述打算如何「利用資料的差異」）。許多學生同時申請多所學校的事實，發現了回答這個問題的方法。有些學生被精挑細選的學校接受然後去就讀那所學校，有些則雖被接受但選擇去讀比較普通的學校。中了！現在我們有實驗組（唸精挑細選學校的學生）和一個不相等的控制組（資質足以被這樣的學校接受，但選擇去唸比較普通的學校）（補充說明：這裡有可能產生偏差。兩組學生都是天資聰穎足以進入一所精挑細選的學校；不過一組學生選擇去讀這樣的學校，另一組學生則否。選擇去唸比較普通的學校的那組學生可能比較缺乏學習動機，比較不努力，或是在我們無法觀察到的層面有些不同。如果經濟學家戴爾和克魯格發現讀精挑細選學校的學生，比被這樣的學校接受，但選擇去讀普通學校的學生一生所賺的錢要多，我們仍然無法確定這個差異是因為精挑細選的學校，還是因為這些遇上了機會就選擇去讀這樣學校的學生。不過，最後這個潛在的偏差在戴爾和克魯格的研究裡並不重要，這是因為結果的走向。戴爾和克魯格發現讀精挑細選學校的學生，他一生並沒有明顯地比被這類學校接受但選擇到別處就讀的學生賺更多的錢，儘管拒絕去讀精挑細選學校的學生，他一生除了教育以外，可能會有某些特質導致他們一生賺較少的錢，如果有什麼不同，那就是這個偏差導致結果誇大了就讀精挑細選大學的金錢效益，不過最終這已經無關緊要了）。

戴爾和克魯格研究的是兩組人賺錢的長期縱向資料，這並不是一個蘋果和蘋果的完美比較，而且賺錢顯然也不是人生唯一要緊的成就，但是他們的研究應該緩和了過於緊張的高中學生和家長的焦慮。就讀精挑細選學校的學生賺的錢，和能力相當但讀比較普通學校的學生差不多，一個例外是如果低收入家庭的學生去讀精挑細選的學校，賺的錢就比較多。戴爾和克魯格用一個簡練的方法將處置作用（在精英學校中唸四年）從選擇作用（這些精英學校收的是最資優的學生）中區分出來。亞倫．克魯格在為《紐約時報》寫的研究摘要中，間接回答了本章標題的問題：「了解自己的動機、企圖心，以及才華，會比你文憑上的學校名稱更能決定你的成就。」