啟發每個人的數學小書：愛因斯坦愉悅推薦，經典長銷70年

讓人不禁愛上的數學小書  / 哈佛大學校聘教授 貝利‧馬祖爾*

進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像向日葵一樣，等不及向你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

作者極具天分，寫出了一本給所有人看的數學書，擷取出最值得探討的概念，讓書中涵蓋了使數學真正成為數學的本質。他們寫得如此吸引人，讓我們不管在電車上或散兵坑裡都想閱讀；他們也寫得如此簡約，本書最早的美國大兵版，甚至可以塞進一包軍隊口糧裡面。

能邂逅李伯一家（本書作者與插畫者是一對夫婦），令我非常興奮，因為他們筆下的數學是如此精采。他們提出令人驚豔的簡單問題，像是為赤道繫上皮帶，再稍微鬆開（第三章），藉此神奇地讓你、我和Mits先生在不知不覺中，開始以數量化的方式思考，並且是深入思考。

李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴（第九章）。他們面無表情地述說一個迷人、但卻無法成立的歐氏幾何證明，其說服力全仰賴他們所畫的圖中一個狡猾而錯誤的假設（第十三章）。一旦他們協助揭發那個使人誤解的圖解，其中的寓意也會隨之出現，正如你所想像。

他們也提供讀者一丁點微積分的概念（第十章），就我看來，要感受微積分的奧妙，你只需要知道這些就夠了。他們還帶我們體驗有限幾何（第十五章，標題為「傲慢與偏見」），而幾何公理的模型概念就輕巧地從中流洩而出，因此對於更加抽象的概念，他們幾乎無須多作說明，你就是看得懂！

他們也在有限算術上運用同樣的手法（第十六章）。他們說明，而且是真正地說明了四維空間（第十八章）。他們也解釋相對論。這些說明都有其附加的寓意，或是對希特勒的批判，並且洋溢著和煦的長者之風。

這本寫於1942年的書籍，反映了那個年代的嚴酷和險惡，也因堅信「理念可以造就輝煌的未來」而生輝。本書的美國大兵版，標題為「給海外軍隊的版本」，大小只有3又3/4吋×5又3/8吋。戰時書籍評議會非常幸運，得以讓部隊閱讀如此具有教育價值的書，裡面充滿了T. C. Mits的明亮插畫，他常常帶著一頂雙曲面的帽子，蔑視（或許根本不以為意）當代毀滅性戰爭的貪婪，快活地思考他在浩瀚的數學頂層的位置。

正如你即將見到的，你手中的這本書相當有趣，但有時候也會惹人惱怒。我自己讀的時候，本書對我的第一個影響，就是把我帶回十二歲，作者就像是我慈愛的阿姨和伯伯，把我放在腳搆不到地面的椅子上，塞給我一大杯巧克力牛奶和自家烤的餅乾，準備傾注予我豐富的課程（關於生命、數學、這個世界……等等），每個故事都伴隨著別有用心的寓意。

然而，這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

不知道是因為懶惰，或者只是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫出所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。在這方面，我和傳說中去找希列拉比，要這位有名望的智者在自己單腳站立的時間內，教完整部《律法書》的懷疑家是同一陣線的。而這位親切的拉比，則告訴他一個絕對命令**。因此，我會愛上李伯一家的書也是理所當然，因為書中所闡述的—而且文筆是那麼地熟練、輕巧（不管有沒有巧克力牛奶和餅乾）—正是數學感性的真正本質。你真正需要知道的，全在這裡了。


* 「哈佛大學校聘教授」是哈佛頒給教學人員的最高級位，幾可與諾貝爾獎、普立茲獎、國家元首等榮譽相提並論，至今僅有24位教授獲此殊榮，經營策略大師麥可‧波特亦是其中之一。貝利‧馬祖爾於1998年受封，在數學界具有相當大的影響力，也致力於科普寫作。
** 希列拉比的回答是：「己所不欲，勿施於人。」這句話即代表了猶太教《律法書》的要義。
 
 
數學是一種思維方式，更是一種生活方式  / 台灣師範大學數學系前教授 洪萬生

當你翻開到目錄時，請先猜猜看，第九章和第十章標題為什麼分別稱為「締結良緣」與「早生貴子」？哈佛大學傑出數學家貝利‧馬祖爾說這是「李伯一家邀請我們參加代數和幾何的婚宴」。事實上，這對在十七世紀組成的數學新家庭，就叫作「解析幾何」，至於他們早生的貴子，當然就是第十章的主題「微積分」了。

上述這個充滿數學史洞識的比喻，可以見證本書作者李伯一家人的博雅素養，以及非常樂觀的自由主義思想，儘管當時二戰正酣，時局嚴酷、險惡。馬祖爾指出：

進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裡面的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像向日葵一樣，等不及向你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

當然，這是因為「作者極具天分，寫出了一本給所有人看的數學書。」事實上，本書是數學家莉莉安‧李伯教授於1942年，為二戰出征的美國大兵所寫的一本數學休閒小書。全書才大約三萬字，為了方便閱讀，還採用一行一詞句的方式書寫，再加上作者先生休‧李伯的俏皮貼切插畫，使得本書洋溢著極大的啟發性。無怪乎馬祖爾教授還特別強調：

這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

不知道是因為懶惰，或者只是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫出所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。

可見，本書之所以受到馬祖爾的青睞，完全是因為這位傑出數學家的十二歲年代，受到它直指核心且「帶點叛逆性」的風格所吸引。而這種「現代性」，當然也見證了美國數學家養成教育制度的逐漸成熟，以及二十世紀早期許多美國本土培養的數學博士，如何以數學教育與普及為職志。

根據約瑟夫‧雅伯的說明，莉莉安是生於俄羅斯的猶太人家庭，後來隨家人移民美國。她先後取得紐約的巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士，1914年榮獲克拉克大學博士學位。1934年，當她應聘到紐約長島大學數學系任教時，與當時的系主任休‧李伯結為連理。1945年，當修‧李伯轉任該校藝術系主任時，莉莉安繼任數學系主任，直到1954年退休為止。

顯然基於普及數學的崇高理想（她的科普系列書籍至少有十本之多），莉莉安希望利用科普寫作，讓年輕人理解數學與科學，在政治、倫理等方面的蘊涵。另一方面，她也注意到一般學生直到大學階段，才有機會接觸源自十九世紀的現代數學。因此，為了讓學生體會數學知識活動是多麼地令人興奮，她認為有必要引進伽羅瓦群、非歐幾何、四維空間，乃至於現代邏輯等等革命性的風貌。而所有這些，都在本書中有了相當具體的實現。

本書除了〈前言〉〈關於主角T. C. MITS〉，以及書末的〈寓意〉之外，共有二十章，所介紹的數學主題涵蓋歐氏幾何、非歐幾何、有限幾何、有限代數、解析幾何、微積分、第四維空間和相對論等等，並且論及方法論之省思，以及現代數學vs.現代藝術的抽象性之對比。

各章篇幅精簡、內容強悍，但呈現手法卻十分輕鬆俏皮，尤其各章標題更是時有佳作。除了前述的第九章〈締結良緣〉、第十章〈早生貴子〉之外，還有分別介紹非歐幾何的第十四章〈自由與特許〉，以及有限幾何的第十五章〈傲慢與偏見〉。所有的這些，都是由於莉莉安認為，所謂的SAM（Science, Art & Mathematics）表現了人類文化的真、善、美，從而對年輕讀者娓娓道來現代數學的理論、啟示和它引人入勝之處，這是現代教育，以及數學普及著述必須承擔的時代使命。

儘管如此，李伯夫婦非常「到位」的科普素養，足以在本書一開始，就讓年輕讀者愛不釋手。譬如說吧，在第一章中，作者就提醒我們「五千萬人也可能是錯的」，他們經由一個簡單的計算題，告訴我們「別成為倉促作決定的人」。

其次，在第二章中，作者提出加倍疊紙巾（每張厚度0.003吋）的問題，然後要讀者猜，當疊到第32次時，這疊紙巾總共會有多高？作者利用這個例子說明，很多時候我們依賴直覺解決問題固然無可厚非，然而，直覺的東西在被檢查和複檢之前，「並不會成為值得尊敬的科學和數學」，儘管她十分仰慕法拉第緣起於直覺的許多貢獻。

至於在第三章中，作者則拋出另一個問題：假設有一條鋼環緊緊環繞著地球的赤道。現在你將它移走，從一處切開來，額外接合一段10呎長的鋼條。這條新的鋼環和地球之間的空隙會有多大？針對它令人出乎意料的解答，作者提醒我們：「沒有理論或計畫，光是機械式的操作問題裡的數字，並不因為你使用算術而變得有意義！」

以上所提及的問題都常見於數學普及書籍，作者在此「老生常談」，其目的就是希望我們都能運用數學來提升心靈效率。為此，當我們學習數學時，就必須強調一般化、抽象化，以及精確定義的重要性，進而位於作者所謂「圖騰柱」頂層的純數學思維，當然就至為重要了。

作者以收音機為例，說明這個發明如何先後受惠於義大利馬可尼的無線電設備、德國赫茲的電磁波實驗、英國馬克斯威爾的電磁學理論，乃至於最後，牛頓微積分是如何被應用在電磁的微分方程式上。因此，要是沒有純粹的數學理論，哪來科技上的重要發明？

當然，從本書的說明，我們也可以看到，數學不只是給工程師，或是需要數學公式的人使用而已，「數學是一種思維方式、一種生活方式」，這才是作者所念茲在茲的理念。因此，在第十一章「PART I的總結」最後，作者特別指出：

大部分的數學課程都沒有留時間讓你思考上面那些事情。時間都用來學習演算技術。我們必須停下來，從技術的操弄中，看出可以從中得到什麼一般性觀念，而這些觀念是對我們所有人都管用的。

作者這種針對比較結構主義式進路的「新式教育」之呼籲，在本書後半部提供了一個教育現代數學的藍圖。至於其具體內容，則是基於隨意定奪的假設、但卻邏輯相容的公設數學，如非歐幾何、有限幾何、有限代數、第四維空間等等。如此一來，受過這種現代數學訓練的公民，「他對於自由止於何處，以及特許始於何處，有著非常清楚的體認。他完全了解，他不能在一個系統中引進任何會引發矛盾、進而摧毀這個系統本身的事物。」因此，基於這樣的自由主義之倫理蘊涵，「即使在一個民主制度中，允許民主的敵人使用言論自由去摧毀民主，是不合乎邏輯的。同理，自由企業也必須因著民主的其他設準而有所規範。」

上述作者所關心的這種自由vs.特許的張力，在現代藝術與音樂等等的創作上，倒是沒有什麼禁忌，因為它的奇特性正是現代主義的一大特徵，「就好比今日的數學比過去的要多元化，那麼，你也不會訝異，現代藝術比起過去的時尚藝術要多樣化得多。」。

無論作者基於現代數學精神的自由主義倫理主張是否具有說服力，本書的精緻內容與圖文並茂的表現形式，都值得我們細細品味。總之，這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特別是中學師生閱讀。