歐幾里得之窗

前言

距今兩千六百年前，有個希臘人站在海濱處，望著帆船消失在海的那一端。亞里斯多德一定在那兒待上好長一段時間，靜靜地觀察過往千帆，最後腦中才會突然興起一陣古怪的念頭：好像所有的船隻都是船身先消失，然後才是桅杆和船帆。他覺得奇怪，為什麼會這樣呢？在平坦的地表上，船隻應該會先愈變愈小，最後才縮小成一點消失在視線以外，難道不是這樣嗎？就在亞里斯多德靈光乍現的這一刻，他觀察到船身先消失的現象，這表示地球表面應該是彎曲的。亞里斯多德透過幾何之窗向外望，觀察到整顆地球的龐大結構。

幾世紀以來，在許多天才人物與幾何學的協助下，人類得以向邊際以外的地方望去。如何證明太空中的任何事物？怎麼曉得自己身在何處？宇宙是彎曲的嗎？有多少個維度 (dimensions)？幾何學該如何解釋宇宙的秩序和一統性呢？就是這些疑問蘊育出世界歷史中五次革命性的幾何變革。

一切源於畢達哥拉斯所孕育的小小計畫：以數學這種抽象的系統法則為物理世界描繪出一套模型。後來又出現脫離人們足踏地面或泅泳水域的空間概念，抽象概念與證明方法於焉誕生。很快，希臘人似乎便已發現所有科學問題的幾何答案，從槓桿原理到天體運行軌道，無一不包。可惜後來希臘文明衰落，羅馬民族佔領整個西方世界。415年復活節前一天，一位女性騎乘馬車時遭暴民攻擊，無知群眾將她拉出車外殺害。這位學者致力於物理學、畢氏理論、理性思維的研究，她是歐洲文明墮入黑暗時代之前，在亞歷山卓城圖書館潛心研究的最後一位知名學者。

文明復興後，幾何學也迅速浴火重生，展現全新風貌。這位創造新幾何學的仁兄是位十分有教養的人士 --嗜賭，愛睡到日上三竿，而且還批評希臘人的幾何證明方法太過於麻煩。為了減輕心理負擔，笛卡兒撮合了幾何學和數目。透過他的座標系統，地點與形狀終於能以前所未有的方式為人所操縱，數目也能透過幾何加以形象化。

由於這種方法的出現，微積分與現代科技方得向前發展。由於笛卡兒的研究，座標與圖形、正弦與餘弦、向量與張量、角度與曲度等幾何學觀念出現在物理學的每一個分支中，從固態電子到時空的大尺度結構，從電晶體和電腦科技到雷射與太空旅行，包羅萬象。但是笛卡兒的研究也觸發了更為抽象、也更具顛覆性的概念：彎曲空間。所有的三角形內角和真的都等於180度嗎？或者只有平面上的三角形才符合這樣的描述？彎曲空間數學引發另一場邏輯基礎的革命，不僅限於幾何學，更擴及數學的每一個層面。
愛因斯坦的相對論也因而得以成形。愛因斯坦的空間幾何學理論、新增的時間維度及時空對物質與能量的關係代表的是整個架構的改變，規模之劇烈為牛頓以來所僅見。這確實顯得十分激進，但與最近這次的革命性變革相較，只是小巫見大巫。

1984年6月某日，一位科學家宣佈發現理論上的大突破，從次原子粒子為何存在與粒子間如何相互反應，到時空的大尺度結構甚至黑洞的性質，全都能以這全新的理論加以解釋。這位科學家相信了解宇宙統一性與秩序的關鍵即在幾何學--一種截然不同的幾何學。他甚至在發表現場讓身著白色制服的一群救護員抬離講台。

結果原來這是一場自編自導的諷刺劇，但裡頭的觀點與才氣確是絕對貨真價實的。約翰‧史瓦茲 (John Schwarz) 已經投注十五個年頭研究這個稱之為「弦論」的理論，多數物理學者對這種理論都是避之唯恐不及，宛若在街上碰到伸手要錢的神經病一樣。現在多數物理學者皆已相信弦論確為正確：空間幾何決定管轄空間內物體的物理法則。

而揭開幾何學這連續不斷的革命發展過程，是個名叫歐幾里得的神秘人士。如果各位記不清楚歐幾里得幾何學這個無聊的主題，恐怕是因為以前在學校上課時打瞌睡的緣故吧。用傳統的方法來觀察幾何學，不用出多少力便可以讓孩子求知的心靈昏昏沈睡。但是歐幾里得幾何學本來應該是個十分刺激有趣的科目，歐幾里得的研究也是精采之作，其影響之深遠足與《聖經》相匹敵，其概念之激進絲毫不遜於創立共產主義的馬克思和恩格爾。透過《幾何原本》，歐幾里得為人類開啟一扇窗，揭開宇宙自然的神秘面紗。歐幾里得幾何學經歷過四次革命性的發展，在這段期間，科學家與數學家粉碎了神學家的信仰，也摧毀哲學家珍視的世界觀，迫使人們重新審視與想像自己在宇宙中的定位。