認識密碼學的第一本書

第1章　遲來二十年的情書

‧繩結／羅馬數字系統／古巴比倫數字系統／阿拉伯數字系統

想了解一個人，最直接的方式或許就是面對面，開誠布公地說出彼此內心的想法；但如果其中一方總是閃躲，甚至早已無法觸手可及，那又該怎麼了解對方呢？

麒哥邁著有些不靈活的腿，打開家門。家裡空無一人。他不意外，兒子阿智應該已經去上課了；就算是假日，也很少待在家裡。麒哥把沙發上的雜物堆到一旁，給自己挪了個位子坐下，一抬眼，剛好看到放在櫃子上的照片：那是阿智小時候，全家一起出遊時拍的。那時候，他的腳還沒跛、妻子還在世，這個家仍然幸福美滿又安康……

一場車禍，讓麒哥差點再也站不起來。雖然拚命復健，可惜效果不如預期，好不容易存下的一點積蓄，也因為住院的緣故花得差不多了。麒哥一向充滿自信，受到的打擊也更深，整個人變得意志消沉，開始封閉自己的內心，無論誰勸都沒有用。妻子除了要照顧阿智、照顧麒哥，還要照顧店裡的生意，在分身乏術、心力交瘁之下，年紀輕輕便撒手人寰。

麒哥完全無法接受這個打擊。他和妻子是大學社團的同學，感情一向好到叫人又羨又妒。他們一畢業就結婚，而麒哥決定自己開店創業時，妻子也從來沒有任何怨言。誰都沒想到，以為會一直美滿下去的家庭，竟然接二連三遭到厄運侵襲。

整理妻子遺物時，麒哥發現妻子留了一封信給他，但內容就只是一連串莫名其妙的英文字母，他左看右看，怎麼想都想不透怎麼回事。妻子想對他說什麼呢？是怨恨他讓全家陷入不幸嗎？是責備他沒有盡到為人夫和為人父的責任嗎？為什麼要用這種看都看不懂的方式寫呢？

為了好好扶養阿智成人，麒哥把店關了，頂下一間早餐店，希望能有更多時間陪伴孩子。只是他心裡始終帶著對妻子的歉疚、對自己不爭氣的痛恨、解不開密碼信的挫敗，以及許多複雜難解的情緒，一靜下來，就覺得空氣沉悶得幾乎讓人窒息。於是他開始用酒精麻醉自己。雖不到誤事的程度，但是看在漸漸成人的阿智眼裡，卻讓他擔心得不得了。

對阿智來說，麒哥其實是個溫柔的好爸爸，只是一沾了酒就像變個人似的；而且只要提到「媽媽」和「戒酒」，爸爸馬上就會暴走發火。隨著年齡漸長，阿智有了自己的生活圈，也懂得迴避衝突，而且他討厭看到爸爸喝酒的樣子，乾脆眼不見為淨，減少待在家裡的時間。

麒哥在沙發上坐了一會兒，站起身來，想到廚房倒杯水，眼光瞄到飯廳桌上的一封信，上面寫著「給爸爸」。

麒哥滿腦子疑問，打開了信。「又是密碼！」他大吼出聲。「你媽寫密碼信給我，連你也這樣搞我？」麒哥正想把信揉進垃圾筒，但他心念一轉：他已失去了妻子，失去問清那封密碼信的機會，難道他要再一次錯過兒子嗎？

麒哥拿著那封密碼信研究了半天，一、兩個鐘頭過去，依然理不出頭緒。這時電話響起，是麒哥的國中同學、幾十年的死忠兼換帖，而且也是妻子的大學同班同學—法老王。自從麒哥家發生變故後，法老王就一直很努力地想讓麒哥走出自己的殼，不但時常幫麒哥照顧家裡，也三不五時打電話約他出門走走，就是不想讓麒哥和酒太親密。

「又走走啊？你沒看我的腳，這副德性還能走到哪裡去？」麒哥打趣說著。他突然想到，法老王不是在大學裡教數學嗎？說不定他可以幫忙解開阿智留下的密碼信！

一進法老王家，麒哥就迫不及待地拿出阿智的信：「快點幫我看看！」

那封信是這樣的：

「88：8179，7954，88179，8437，94320，0506，1.181，1.91817，88520。」

法老王接過那封寫滿數字的信，看了一會兒，又若有所思地看了麒哥一眼。

「阿智說什麼？」

「你兒子愛你啦。」法老王擺擺手。

「我不信，寫那麼多數字耶；而且……」麒哥眼神一暗，「他才不會說這麼肉麻的話。」

「唉！」法老王嘆了一口氣，「我可以跟你說阿智寫什麼，但是你要答應我，不准生氣、不准罵人、不准發火、不准掀桌子。」

「好，我答應你。」看著一臉認真嚴肅的老友，麒哥意識到兒子可能寫了什麼很重要的內容。

法老王清清喉嚨：「阿智說：『爸爸：不要吃酒，吃酒誤事，爸爸一吃酒，不是傷妻，就是傷兒女，動武動怒，一點也不要，一點酒也不要吃，爸爸我愛你。』」他把信摺好，還給麒哥：「所以我說你兒子愛你嘛。」

麒哥一時語塞。他知道自己一直在逃避，但是沒想到竟然會讓兒子這麼擔心。也許就是因為阿智一講到戒酒他就生氣，才會用這麼迂迴的方式，希望能讓父親了解他的用心。

「你怎麼看得懂？」麒哥有些慚愧，但也好奇法老王怎麼能一眼就看出兒子信上的內容。

「阿智真的是她的兒子。」法老王笑了笑，「還記得吧，你老婆從以前就很喜歡玩藏密解密的遊戲。」

「我們念文科的一看到數字就頭痛，哪曉得這些。」麒哥苦笑。

「不過數字不但很實用，也很美喔，如果有機會重新認識它們，你就不會這麼排斥了，說不定還會愛上它們呢。」

「拜託，怎麼可能？」麒哥白眼差點翻到後腦杓。

「你天天都在用數字解決大小事情，沒有它，世界根本沒辦法運轉。喏，上次找你去買東西的時候，你一看到打折的東西就黏住不動了。」

「哈！做人就是要精打細算啊，那天買了兩串衛生紙，打完八五折之後一串才一百元出頭耶，很划算呢！」

「你看，『八五折』不就是數字的運算嗎？」法老王指指桌上的電腦，「你應該知道電腦是○與一構成的吧。」

「這我當然曉得，不過我想一般人頂多就是算算買東西花了多少錢之類的吧，那種很難的數學根本派不上用場。」

「這樣講是沒錯啦，但事實上，古人對數字的依賴，可是遠遠超乎我們想像的喔。」法老王走到電腦前，在鍵盤上敲了幾下，按按滑鼠，隨即出現檢索頁面：

〈密碼小教室〉結繩的時代

看完之後，麒哥忍不住心想：「不會吧，連算日子都這麼麻煩，還好現在有日曆和手機，一看就知道今天幾月幾號了。」

法老王又點選另一個檢索頁面。「就算再怎麼討厭數學，你至少也知道什麼羅馬數字、二進位、十進位、十六進位之類的東西吧。而且很多古文明都有自己的計數系統；雖然很多都沒留下來就是了。」

〈密碼小教室〉數字系統

我們現今所使用的阿拉伯數字，並非一開始就被所有人所使用、接受，在過去的許多古文明中，其實早有發展出屬於自己的數字系統。之後隨著貿易的興盛，帶動了知識的交流，才有了我們現在所使用的阿拉伯數字。

1. 羅馬數字系統

2. 古巴比倫數字系統 

「我問你一個冷知識。」看完與數字相關的歷史後，法老王開口問麒哥：「羅馬人發明羅馬數字，巴比倫人發明巴比倫數字。那阿拉伯數字是誰發明的？」

麒哥皺皺眉：「你當我是笨蛋喔？會問這種問題，就表示阿拉伯數字不是阿拉伯人發明的，但如果不是阿拉伯人的話……呃，我真的不知道是誰；而且，如果不是阿拉伯人發明的，為什麼要叫『阿拉伯數字』？」

法老王笑了起來。「不錯嘛，我還以為你會掉進陷阱裡呢。事實上，發明阿拉伯數字的，是印度人。至於為什麼叫『阿拉伯數字』，那是因為西元七六○年左右，有個印度人跑到阿拉伯去，把《西德罕塔》這本有關天文學的書籍獻給當時的阿拉伯國王。國王覺得這本書不錯，叫人把書譯成阿拉伯文，又發現裡面的印度數字還挺好用的，就把它改良了一下，廣泛流傳到今天。」

「所以其實是阿拉伯國王『好康道相報』？」

「沒錯。阿拉伯人透過戰爭和貿易，輾轉把改良後的印度數字傳播到歐洲，取代了歐洲人原本使用的羅馬數字，所以歐洲人才會叫它『阿拉伯數字』。」

「而且……」麒哥用手指在掌心畫了幾筆。「阿拉伯數字跟羅馬或巴比倫數字比起來，有一個很不一樣的地方：羅馬數字和巴比倫數字都是由線段組成的，可是阿拉伯數字的筆畫都是圓弧；還是現在的阿拉伯數字寫法已經跟一開始不一樣？」

「哇，你今天是開竅了嗎，求知欲這麼旺盛喔？」法老王故意虧了麒哥兩句，隨即又認真起來。「你的推論沒有錯，現在阿拉伯數字的寫法跟以前不太一樣，重點在於『角度』。」

「角度？」麒哥滿腹狐疑，好奇地看著法老王在電腦上搜尋。

〈密碼小教室〉阿拉伯數字

我們現今所使用的阿拉伯數字，其實與古時的寫法有相當大的差異。實際上，阿拉伯數字的「數」與「角度」有著一定的規則:有一個角度的就是代表數字「1」，有二個角度的就是代表「2」，有三個角度的就是代表「3」……依此類推。如下圖所示，圓點所標注之處就是數字的角度，而「0」很清楚地看出是沒有角度。

第2章　獨一無二？孤芳自賞？ 

質數與合數／質數的個數／梅森質數／費馬質數1231／中國剩餘定理／摩斯密碼 

法老王捧著麒哥的第一次作業，仔細讀了一會。雖然回答的字數不多，但是看得出來他並沒有敷衍了事。想了想，他隨手抓起一枝筆，把「2」「3」「5」「7」「11」「13」「23」「101」和「911」幾個數字圈了起來，然後再遞回給麒哥。 

「說句實在話，你如果真的是我的學生，看到你的作業，我一定會很感動。」法老王看到麒哥臉上露出有些害羞的表情。「看看我圈起來的這些數字。你知道它們有什麼共通性嗎？」 

「共通性？」麒哥端詳著。奇數？不對，「2」不是奇數啊，而且還有很多奇數沒有圈起來。那麼它們的共通性會是什麼呢？ 

「你一定知道答案，只是需要一點點提醒……」法老王並不想太快告訴麒哥謎底。「提示是：它們都很孤獨。」 

孤獨？坦白說，麒哥完全不覺得這是什麼好提示。孤獨的數字？孤獨……啊，對了，他知道了！

「我知道了，它們都是『質數』；不過你那是什麼提示，文謅謅的。」 

「還不是怕你一聽到數學就頭痛，而且你不覺得這個提示很有哲理嗎？你應該還記得以前學過關於質數的性質吧！沒有其他因數，除了一，只有自己，不是孤獨是什麼？」 
「好啦好啦，」麒哥敷衍了兩句，「現在已經知道它們是質數了，然後呢？」 
「你也太不給面子了吧！」法老王苦笑著。「以前我們上數學課的時候，有講到數字可以分成『質數』和『合數』兩種。質數就像剛剛說的，除了一以外，沒有其他的因數，也就是沒辦法被其他大於一的正整數整除；至於『合數』，就是除了一和自己之外，還有其他的因數。」 
「為什麼要特別講質數？它有什麼重要的地方嗎？」 
「你講到重點了。」法老王彈了下手指。「千萬不要小看質數，它們因為孤獨，所以也很特別。對現代社會來說，質數可是跟密碼、網路安全保護息息相關喔！」 
「密碼？」麒哥很自然地想到那天阿智所寫的密碼信。 
那天請法老王幫忙解開阿智的密碼信後，麒哥找了個機會和阿智稍微聊了一下；這或許是父子兩人這麼多年來第一次深談。麒哥很清楚，多年來的疏離無法一下子就拉近距離，但至少要讓阿智知道，自己不是不愛他，只是一直沒有機會，也不知道怎麼把心裡的話說出來。如果真的有一天，父子倆可以無話不談，那麼到了那個時候，相信他們就不會再需要用密碼來隱藏真正的訊息了吧…… 
法老王發現麒哥突然走了神，雖然不確定他在想什麼，不過對老師而言，看到學生在課堂上恍神可是一大打擊…… 
「咳！阿麒，你知道一到一百之間有幾個質數嗎？」法老王丟出問題，呼喚麒哥回神。 
「嗯？一到一百的質數嗎？」麒哥回過神來，就像以前念書時打瞌睡被老師抓包一樣，露出不好意思的微笑，抓抓頭。「你剛剛圈的那些數字有七個，還有……17、23、29……」數字越大，就越不容易判斷是否為質數。 
遲疑了一陣，「二十三個……嗎？」麒哥完全不確定自己的答案是否正確。 
「答案是二十五個。」果然，法老王瞥見麒哥臉上的失望。「你應該也覺得數字越大，越難確定它是不是質數，對吧？事實上，有人為了想知道哪些數字是質數，研究出發現它們的公式喔！」 
「質數還可以用公式算？」 
「古人是不是很無聊？」法老王大笑，「而且，他們不但找出判定是否為質數的公式，還有人證明出質數的數量喔！」 
「質數的數量？想也知道是無數個啊！數字沒有最大，只有更大，質數應該也一樣吧！」麒哥覺得好奇。 
「你說的沒錯，但重點在於：要怎麼證明這個說法是正確的？」
「我找個東西給你看。」法老王走到電腦前敲了幾下，點開其中一個網頁。「這是很有名的一個證明，歐幾里得利用嚴謹的論證，證明質數有無窮多個。我覺得這是數學最厲害的地方：用幾條公式或幾個證明，把很複雜的事情講清楚。」

 「知道質數有無數個之後，我們要來看看『怎麼找出質數』。」法老王說。 

「對喔，剛剛你說一到一百的質數有二十五個，我想知道另外那兩個是多少。」麒哥很好奇，自己究竟漏了哪兩個。 
「你記不記得我們以前放學去溪邊『摸蜆仔』的事情？」 
麒哥點點頭。「記得。每次都摸到全身髒兮兮的，回家還被罵。」 
「找質數的方法有很多，其中一種跟『摸蜆仔』很像喔！」法老王故做神祕。 
「真的假的？」麒哥不敢置信。「那是怎麼個『摸』法？」 
「摸蜆仔的時候，我們不是都會把泥巴放進網子裡，然後在水裡搖個幾下，把泥沙篩掉嗎？蜆仔因為比網子的洞還大，所以就會留在裡面。兩千多年前，有個叫埃拉托斯特尼的數學家，用了類似網子的方式，把不是質數的數字篩掉。」法老王邊說，還邊擺出摸蜆仔的手勢，唱做俱佳。 
「嗯……我還是不太懂哎。」麒哥皺起眉，難以想像怎麼用網子「篩」掉數字。 
「簡單來說，埃拉托斯特尼用的是一種土法煉鋼的辦法。」法老王拿起紙筆，寫上一到一百的數字。「我們先想想看質數的定義：除了1和自己之外，沒有別的因數。接下來……把2的倍數、3的倍數、5的倍數、7的倍數……一個一個拿走，最後留下來的就是質數了。」一邊說著，法老王一邊動手在紙上打叉，再把結果遞給麒哥。 
麒哥仔細地數了數。「真的是二十五個耶。不過這個方法會不會太麻煩了一點？如果範圍更大，那要數到什麼時候才數得完啊？」 
「沒錯，我們總不能每次都要拿紙畫個老半天，所以後來又有很多數學家想出很多辦法，其中比較有名的，是十七世紀初法國數學家兼神父梅森提出的，用這條式子找出來的質數則稱為『梅森質數』。」 
法老王在空白處寫下一條短短的式子「質數P=2的n次方－1」，還補了一句：「n也必須是質數。」 
麒哥不敢相信：「就這樣？」 
「沒錯。不過從埃拉托斯特尼一直到梅森，這條式子可是花了一千七百多年才終於問世的喔！」 
麒哥也拿起筆，一個一個把數字代進去算，還出動計算機幫忙。「真的耶，這樣算出來的數字都是質數耶……咦？」 
「怎麼了？」法老王把頭湊了過去。 
「你看，2的11次方–1=2047，但是2047不是質數耶。」麒哥用計算機按了幾下。「它可以被23整除耶。」 
「喔？沒想到你這麼快就發現這條式子的『bug』了。」法老王喝了兩口茶。「用這條式子來找質數的確很簡單，不過問題是，用它找出來的式子不一定真的都是質數。」 
「這樣有什麼用？算出來的又不一定對。」麒哥嘆了一口氣。 
「雖然梅森的式子有『bug』，但是他的研究卻為後人開展了新的可能性。現在數學界仍然用梅森的這條式子設法找出更大的質數。二○一三年二月找到了第四十八號梅森質數，是個一千七百多萬位數的龐大數字，距離上一個梅森質數發現的時間，已經隔了四年半呢。」 
「可是找出那麼大的數字有什麼用啊？」麒哥覺得奇怪，不過就是找出更大的數字啊，值得花這麼多時間嗎？ 
「剛剛也說過了，質數其實跟密碼、跟網路安全有很深的關連性，就是因為它們不能再做因數分解，所以才能用來當成保護機制。」法老王知道現在跟麒哥說這些言之過早，畢竟加密演算並不是三言兩語就能說清楚的事。 
法老王不管麒哥一臉狐疑的表情，接著又說：「另外還有一條用來找質數的式子，長得跟梅森的公式很像，而且發明這條式子的人，年代也跟梅森差不多。這個人叫『費馬』，他有『業餘數學家之王』的稱號，他用來找質數的公式是這樣的……」法老王動手在紙上寫下一條式子：「P=+1。」 
「長得好奇怪喔！次方上面還有次方。」 
法老王拿來另一張紙，飛快在紙上寫下幾條式子： 
「你看看。」法老王指指紙上的公式。「當x=0、1、2、3的時候，因為數字不大，很容易檢查答案是不是質數，x=4的時候，雖然數字看起來有點複雜，不過在那個時代也還算得出來。但是x=5的時候，得到的答案卻不是質數，這一點在當時並沒有檢查出來。」

 「為什麼？」 

「因為那個時候沒有計算機，也沒有電腦啊！」麒哥單純的問題讓法老王笑了出來。「現在只要按按計算機，就知道二的五次方等於三十二，所以二的二次方的五次方等於二的三十二次方。可是如果要用筆算，應該會算到手軟吧，而且還不一定對。所以費馬自己檢查到x=4，發現前四項的答案都是質數，就很放心地推論只要用這條式子算出來的答案，全都會是質數。」 
「所以根本是個美麗的錯誤？」麒哥突然有種「白忙一場」的感覺：怎麼這兩個人的公式都有問題？既然有錯，為什麼他們的名聲還可以流傳到現在，而且……好像還很重要？」 
「可以這麼說。不過對科學來說，提出一個理論很重要，證明這個理論是真的或假的更重要。比如第一個證明費馬這條質數公式的人，是十八世紀的瑞士數學家尤拉，他的著作很多，算是近代數學的一位先驅。他就證明了費馬這條公式中，當x=5的時候，得到的答案是4294967297，而它可以分解成『641』和『6700417』兩個因數。後來有了電腦，運算的速度和準確度也都大大提升了，而不管x=5，還是6、7、8……算出來的結果都不是質數。」 
「你從剛剛就一直說質數跟密碼跟安全有關，到底是『有關』在哪裡啊？你看，你接連說了梅森質數和費馬質數的故事，可是這兩條式子都有缺陷，這樣我還是不知道質數的重要性在哪裡啊！」麒哥聽故事聽到有點暈頭轉向的。 
「也對，雖然他們兩個在科學史上都是非常重要的人物，不過從這兩個故事聽起來，好像沒有很厲害的樣子。這樣吧……」法老王沉思了一會兒。「我就用一個你可能比較熟悉的典故來說明質數對保密的重要性吧。」 
「喔？那就洗耳恭聽啦！」麒哥啜了口茶，調整了一下姿勢。 
「楚漢相爭的故事你應該很熟吧？」法老王劈頭就問。

 「不敢說很熟；就算以前很熟，現在也該忘光了啦。」麒哥搔搔頭。 

「沒關係，我應該沒比你熟多少。」法老王大笑兩聲，點開網頁。「所以還是交給孤狗大神（Google）來協助比較可靠。」 

〈密碼小教室〉

韓信點兵

韓信平日研讀兵法，熟習用兵技巧。滿懷壯志的韓信打算投靠當時聲勢如日中天的項羽。殊不知，千里馬未遇伯樂，韓信並未受到項羽重用。苦無發揮自己所學的機會，韓信毅然投向敵營劉邦的門下，卻又是同樣的命運，志氣難伸的韓信，憤而離開劉邦。

 所幸劉邦的親信蕭何，看出韓信是一名大將，定能幫助劉邦，極力向劉邦舉薦韓信，說服劉邦重用韓信必能一統江山。在蕭何的幫助下，韓信終能如自己所願與劉邦一起討論用兵策略，韓信的建言使劉邦為之驚艷，於是即刻命韓信為元帥，將旗下的軍隊交給韓信指揮。韓信果然不失所望，率領軍隊攻占各方城池，並在楚漢相爭的最後一役，協助劉邦將項羽圍困在垓下，項羽認為自己無顏見江東父老，最後選擇在烏江邊自盡，劉邦得以統一天下，建立漢朝。 

韓信幫劉邦統一江山後，劉邦理應給予韓信相當的重賞，但卻非如此。劉邦反倒害怕韓信有了兵力後會趁機造反。在一次的宴席中，劉邦刻意詢問韓信兵力的狀況，韓信一聽便理解言外之意。依劉邦的個性，據實以告可能為自己招致不測，但不回答，恐劉邦擔心他企圖造反。韓信為了擺脫劉邦的追問，想出了一個避重就輕的回答：「我不知道我總共有多少士兵，我只知道三個一數會剩兩個，五個一數會剩三個，七個一數會剩兩個。」劉邦聽了之後一頭霧水，連在旁的軍師也算不出總共有多少兵力，韓信憑著過人的機智，逃過一劫。 

 「韓信其實就是用了『質數』來幫自己逃過一劫的。」法老王說。 

「我看出裡面的『三個一數』『五個一數』和『七個一數』都是質數，這又有什麼特別的嗎？」 
「中國剩餘定理。」法老王說。 
「中國剩餘定理？」 
「或者，你可能還有印象，以前的課本叫它『餘式定理』。」 
「喔—」麒哥一臉恍然大悟。「我聽過，但不太記得了。」 
「簡單來說，韓信的兵力總數就是同時可以滿足『除以3，餘2』『除以5，餘3』『除以7，餘2』這三個條件的數字。」法老王在紙上用簡單的符號將韓信的說明化為算式。「而且看起來劉邦的算術不太好，心思倒是轉得很快，所以一聽到韓信跟他賣弄玄虛，就知道暫時還不能動這個人。」 
「原來如此。」 
「事實上，只要所有除數彼此『互質』，就可以用中國剩餘定理來計算了。 
「互質？」麒哥覺得自己好像在哪裡聽過…… 
「其實這個名詞我們很久以前就學過了，只是因為後來都沒用到，你才會覺得很陌生。」法老王解釋。「所謂的『互質』，就是兩個或兩個以上的正整數，它們除了1之外，沒有其他的共同因數—也就是『最大公因數』為1的意思。」 
「所以即使它們不全都是質數也可以嗎？」麒哥有些好奇。 
「這個問題很好。」法老王露出讚許的表情。「沒錯，就像你說的，比如『3』『4』『7』這三個數字，雖然『4』不是質數，但因為這三個數字的最大公因數是1，所以還是可以說它們『互質』，還是可以應用在中國剩餘定理。」 
法老王接著把他剛剛在紙上寫下的算式推到麒哥面前。「那麼，你要不要試著算算看，韓信的兵力最少有多少人呢？」 
麒哥拿起筆，用土法煉鋼的方式算了好一會兒。「我知道了，最少是二十三人。」 
「你看，如果我們增加需要滿足的條件，要算出答案就更花時間對吧！從這個角度來看，它就是一個很好用的密碼喔！」