如何穿過一張明信片：德國小學生愛上數學的祕密

前言

真的有數學實驗這種東西嗎？
我們不必把這當成哲學問題來討論，就能簡單地回答：沒錯，確實有！本書中收集了我們最喜歡的數學實驗，你不需要依照書中的順序來做，可以直接從你最感興趣的實驗開始。
不必懷疑，這些確實是「實驗」，因為你得要動手做。別害怕！你既不需要特別的材料（通常只要一張紙就夠了），也不需要特殊的工具（偶爾得用到剪刀），更不需要經過特殊訓練的技巧（通常只需要折折紙）。我們的原則是：越簡單越好。事實上這些實驗特別適合小孩子，有許多甚至適合讓學前兒童來做，讓他們能對數學有初步的認識。
這些數學實驗就跟所有好的實驗一樣，會讓你嚇一跳、想不透，有時候也會出乎你意料之外。而數學實驗的作用還不僅止於此，這些實驗能讓你提出疑問（為什麼會這樣？），刺激你的想像（物體如何從二度空間變成三度空間），也包含有助於理解的提示。往往我們在思考的過程中會突然靈光乍現（「啊哈，原來如此！」），而突然看出問題的「解答」，或明白其中的道理。

如果要嚴格地區分物理實驗和數學實驗，我們可以說：物理實驗是用來證明自然定理，數學實驗則是用來刺激思考。而且無論如何，數學實驗得出的結果永遠相同！

本書中有十分豐富的主題：你不但可以穿過一張明信片，還能做出一個足球和其他幾何體。你將學會用密碼傳送訊息，還能在一個啤酒杯上發現圓周率。

每一個實驗的背後都有相關的數學原理，有時候我們會詳加說明。無論如何，你從實驗中所獲得的知識都與一般的數學有所關聯。就這一點而言，這些實驗是豐富的寶藏，大人與小孩都能長年從中獲益。

我們要感謝數學博物館的工作伙伴，謝謝他們和我們一起檢驗、測試並改良這些實驗。

但願讀者能從這些實驗中獲得許多樂趣。在做的過程中，想必你會發現有些實驗有更好的作法，或是發現還可以增加其他實驗。非常歡迎你來信和我們分享你的經驗，我們的電子郵件信箱如下：
albrecht.beutelspacher@mathematikum.de
marcus.wagner@mathematikum.de

二○○七年十二月於德國吉森
亞伯瑞希特．波伊特許帕赫
馬庫斯．華格納


開始之前
書中絕大多數的實驗都不需要什麼準備。如果你看見剪刀小圖，表示你只需要一些最普通的東西：紙、筆、直尺和膠水。在敘述實驗的過程中不會特別提起要用到的文具。
如果一個實驗用到的材料和工具很少，例如只需要用到一張紙，那麼我們就會畫上用紙小圖，做這些實驗只需要花一點點時間。如果一個實驗畫有推車小圖，就表示你得先買些材料，不過，這些材料並不難找，通常在勞作用品店或五金行就能買到。

供影印的例圖
有些實驗中有供影印用的例圖。通常在影印時最好把原圖放大，影印前請先想好要把原圖放大幾倍。這很容易計算：先量出例圖的長度，然後確定你想印成多大。把理想大小的長度除以原圖的長度，再把得出的數字的小數點往右移兩位，就能得出需輸入影印機的放大百分比。
舉例來說：原圖長18公分，而你希望在影印之後能有一張A4紙那麼大。扣掉在紙上留一點邊的寬度，影印之後該圖的長度應該要是27公分左右。27除以18等於1.5，把小數點往右移兩位，就得出150這個數值。影印時把放大的比例調到百分之150，然後只要把例圖放在影印機上正確的位置就行了。

動手做
不管是做哪一個實驗，都要記得：你做得越仔細，成果就越好。不過，在許多實驗中，即使你做的並非百分之百準確，結果也不會太差。
膠水小圖告訴你做實驗時需要哪些材料。
拼圖遊戲除了用紙來做，也可以用海綿橡膠片來做，這樣一來不但更漂亮，也能保存得更久。
製作三度空間的物體時，最好事先把所有的邊都折出來。需要黏貼的部位可以先用迴紋針加以固定。在製作的過程中，如果你在物體內部塞一點廢紙，把它撐起來，當你要把最後一個需要黏貼的部位黏好時，就能有個著力點。
每次塗上膠水之後要先等它乾，這需要一點耐心，但是這有助於整個實驗的進行。如果只用適量的膠水，就會乾得比較快。大部分的實驗都只需用到膠水或口紅膠，有些實驗則用熱熔膠效果較佳。

如何更進一步？
你想做這些實驗給別人看嗎？還是想自己再做一次？這時只要把每個實驗最前面的摘要再看一次就可以了，幫助你回想起實驗最重要的幾個步驟。
有時候我們會額外提示某個實驗還會有哪些變化，或後續的實驗。例如在「正六面體」和「正二十面體」這兩個實驗中所介紹的方法也適用於其他的幾何體。


莫比烏斯環
如果把一個紙條黏成一個紙環，不會有什麼讓人意外的地方。我們可以區分出外圈和內圈，也可以把紙環的外圈和內圈塗上不同的顏色。這個紙環也有一個「上緣」和一個「下緣」，兩者都近乎圓形，而且彼此完全不相交。我們可以沿著上緣畫出波浪狀的圖案，沿著下緣畫出鋸齒狀的圖案。這一切都平凡無奇，是我們所熟悉的世界，一切都不超出我們的想像。可是當我們觀察 「莫比烏斯環」時，一切就頓時改觀。

材料：
三張紙條，長度大約與A4紙一樣，寬約5公分
膠水
剪刀

拿起一張紙條，把兩端捏在一起，然後把其中一端旋轉180度，使原本的上緣位於下方，然後把紙條的兩端黏在一起。這樣你就做出了一個「莫比烏斯環」。也許數學家莫比烏斯（Ferdinand August Moebius, 1790-1868）並非「莫比烏斯環」的發明者，但他是最早把這個紙環當成數學問題來研究的人。

「莫比烏斯環」是一個自身扭轉的結構，乍看之下沒什麼特別，但卻有一些出人意料的特徵。

1. 用手指沿著紙環走一圈，即使你從「外面」開始，走著走著你就會走到紙環的「內面」，然後又再走到「外面」。如果要替這個紙環著色，從一個起點開始，要等到整個紙環全都著上顏色之後，才會再回到最初的起點。「莫比烏斯環」沒有所謂的「外面」和「內面」，而只有一個單一的面！
你明白這其中的道理嗎？再回想一下你是怎麼做出這個「莫比烏斯環」的。你把紙條的一端旋轉了180度，於是原本的「外面」便成了「內面」，你再把它和另一端的內面黏在一起，於是「外面」和「內面」就結合在一起。換句話說：不再有所謂的「外面」和「內面」，而只剩下一面。

2. 用手指沿著「莫比烏斯環」的邊緣走，你會發現你得沿著整個紙環的邊緣走過一趟之後，才會再回到原點。
這個現象也可以從我們製作這個紙環的過程來解釋：當我們把紙條的一端旋轉了180度之後，原本在上方的一邊就到了下方，然後我們把它和另一端的下方黏在一起。因此這個紙環也就沒有所謂的「上邊」和「下邊」，而只有一個邊。

3. 要理解下一個實驗，得先做點準備工作。再拿一張紙條，沿著長邊的邊緣畫上圖案：上邊和下邊，正面和背面都要畫。記得用同樣的顏色或同樣的圖案，例如全部畫上波浪狀。
然後再用這張紙條做一個「莫比烏斯環」，把兩端捏住，一端扭轉180度之後再與另一端黏在一起。
實驗的下一步，是把這個「莫比烏斯環」從中間沿著環面剪開，你可以先想像一下當你剪完之後會出現什麼情形！

出人意料地，紙環並沒有一分為二，而是變成一個兩倍長的紙環。
仔細看看這個紙環！你之前所畫的邊如今在哪裡呢？原先的邊現在只出現在這個長紙環的一邊，而長紙環的另一邊則是我們剛才剪出來的，上面沒有圖案。剛才我們已經證明了「莫比烏斯環」只有一個邊，而我們並沒有把這個邊剪斷，所以紙環自然仍是完整的。

4. 現在請你用另一張紙條再做最後一個「莫比烏斯環」。最好還是事先把紙條的邊緣塗上顏色或畫上圖案。
這個實驗也需要把紙環沿著環面剪開，但不是從中間，而是從距離邊緣大約三分之一寬的地方。也就是說：把「莫比烏斯環」拿在面前，讓面向你的部分呈垂直走向。用剪刀在距離紙環右緣一、兩公分的地方先直著剪一刀，然後維持同樣的距離沿著環面往下剪。
在剪最後一刀之前，請你先停下來，想像一下剪完之後會出現什麼情形。

太不可思議了！一個小紙環掛在一個大紙環上！
你能明白其中的道理嗎？看看那個大紙環！這個大紙環的一個邊緣上有圖案，另外一邊則是我們剛才剪出來的。這個大紙環和我們在第二個實驗中所剪出的紙環很像，只是比較窄。
那個小紙環也比較窄，但是邊緣上卻沒有圖案，這是原本那個「莫比烏斯環」中間的那三分之一，因此它也是一個「莫比烏斯環」。至於那個大紙環則是原本那個「莫比烏斯環」的邊。


兩顆心
「莫比烏斯環」已經讓人嘖嘖稱奇了，想像一下，兩個「莫比烏斯環」湊到一塊兒會帶來什麼樣的驚喜！

材料：
兩張等長的紙條，長度約與A4紙一樣，寬約4公分（紙條最好稍微有點硬度，如果用紅紙來做會更漂亮。）
膠水
剪刀

用一張紙條先做出一個「莫比烏斯環」，你應該還記得怎麼做吧？把紙條的一端扭轉180度之後再把兩端黏在一起。
要把紙條的一端扭轉180度有兩種方式：你可以朝著你自己的方向扭轉，或是往相反的方向扭轉。請你在做第二個「莫比烏斯環」時，選擇和做第一個時相反的方向。
你可以檢查自己做得是否正確，因為這樣做成的兩個「莫比烏斯環」是彼此的鏡中倒影。把兩個紙環並排放在面前，你可以看出它們是否是彼此的鏡中倒影。
我們要做的這個實驗現在才要展開。把兩個「莫比烏斯環」疊在一起，疊的時候要成垂直相交，而最好是把之前紙環兩端黏起的地方疊在一起，然後再黏起來。黏時要注意把兩個紙環相接觸的部位全部塗上膠水，這樣才黏得牢。
現在把兩個紙環分別自中間沿著環面剪開，也包括剛才黏起來的部位，先剪開一個，再剪開另一個！
你想得到嗎？當你把這個實驗的結果以「正確」的方式拿著，你就會發現這是最適合戀愛中的人來做的實驗！